Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8495
2018-07-04 
Согласно постулату Бора — Зоммерфельда при периодическом движении частицы в потенциальном поле должно выполняться следующее правило квантования:
$\oint \vec{p} d \vec{r} = 2 \pi \hbar n$,
где $\vec{p}$ — импульс частицы, $d \vec{r}$ — ее элементарное перемещение, $n$ — целые числа. Воспользовавшись этим правилом, найти разрешенные значения энергии частицы массы $m$, которая движется:
а) в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины $l$ с бесконечно высокими стенками;
б) по окружности радиуса $r$;
в) в одномерном потенциальном поле $U = \alpha x^{2}/2$, где $\alpha$ — положительная постоянная;
г) по круговой орбите в центральном поле, где потенциальная энергия частицы $U = - \alpha /r, \alpha$ — положительная постоянная.
Решение:
(а) Если мы измеряем энергию со дна ямы, то внутри стенок $V(x) = 0$. Тогда условие квантования дает $\oint pdx = 2l p = 2 \pi n \hbar$ или $p = \pi n \hbar / l$
Следовательно $E_{n} = \frac{p^{2} }{2m} = \frac{ \pi^{2} n^{2} \hbar }{2ml^{2} }$.
$\oint pdx = 2lp$, так как мы должны рассмотреть интеграл от $- \frac{l}{2}$ до $\frac{l}{2}$).
(б) Здесь $\oint pdx = 2 \pi r p = 2 \pi n \hbar$
или $p = \frac{n \hbar}{r}$
Следовательно, $E_{n} = \frac{n^{2} \hbar^{2} }{2mr^{2} }$
(в) Из сохранения энергии $\frac{p^{2} }{2m} + \frac{1}{2} \alpha x^{2} = E$
$p = \sqrt{2mE - m \alpha x^{2} }$
Тогда $\oint pdx = \oint \sqrt{2mE - m \alpha x^{2} } dx=
2 \sqrt{ m \alpha} \int_{ - \sqrt{ \frac{2E}{ \alpha} } }^{ \sqrt{ \frac{2E}{ \alpha} } } \sqrt{ \frac{2E}{ \alpha} - x^{2} } dx$
Интеграл $\int_{-a}^{a} \sqrt{a^{2} - x^{2} } dx = a^{2} \int_{- \pi /2}^{ \pi /2} \cos^{2} \theta d \theta = \frac{a^{2} }{2} \int_{ - \pi /2}^{ \pi /2} (1 + \cos 2 \theta) d \theta = a^{2} \frac{ \pi}{2}$.
Таким образом, $\oint pdx = \pi \sqrt{m \alpha} \frac{2E}{ \alpha} = E \cdot 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ \alpha} } = 2 \pi n \hbar$
Следовательно, $E_{n} = n \hbar \sqrt{ \frac{ \alpha}{m} }$
(г) Требуется найти энергетические уровни круговой орбиты $U(r) = - \frac{ \alpha}{r}$
На круговой орбите частица имеет только тангенциальную скорость и условие квантования $\oint pdx = mv \cdot 2 \pi r = 2 \pi n \hbar$
так что $mvr = M = n \hbar$
Энергия частицы равна
$E = \frac{n^{2} \hbar^{2} }{2mr^{2} } - \frac{ \alpha}{r}$
Равновесие требует, чтобы энергия как функция $r$ была минимальной. Таким образом
$\frac{n^{2} \hbar^{2} }{mr^{3} } = \frac{ \alpha}{r^{2} }$ или $r = \frac{n^{2} \hbar^{2} }{m \alpha}$
следовательно $E_{n} = - \frac{m \alpha^{2} }{2n^{2} \hbar^{2} }$
Согласно постулату Бора — Зоммерфельда при периодическом движении частицы в потенциальном поле должно выполняться следующее правило квантования:
$\oint \vec{p} d \vec{r} = 2 \pi \hbar n$,
где $\vec{p}$ — импульс частицы, $d \vec{r}$ — ее элементарное перемещение, $n$ — целые числа. Воспользовавшись этим правилом, найти разрешенные значения энергии частицы массы $m$, которая движется:
а) в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины $l$ с бесконечно высокими стенками;
б) по окружности радиуса $r$;
в) в одномерном потенциальном поле $U = \alpha x^{2}/2$, где $\alpha$ — положительная постоянная;
г) по круговой орбите в центральном поле, где потенциальная энергия частицы $U = - \alpha /r, \alpha$ — положительная постоянная.
Решение:
(а) Если мы измеряем энергию со дна ямы, то внутри стенок $V(x) = 0$. Тогда условие квантования дает $\oint pdx = 2l p = 2 \pi n \hbar$ или $p = \pi n \hbar / l$
Следовательно $E_{n} = \frac{p^{2} }{2m} = \frac{ \pi^{2} n^{2} \hbar }{2ml^{2} }$.
$\oint pdx = 2lp$, так как мы должны рассмотреть интеграл от $- \frac{l}{2}$ до $\frac{l}{2}$).
(б) Здесь $\oint pdx = 2 \pi r p = 2 \pi n \hbar$
или $p = \frac{n \hbar}{r}$
Следовательно, $E_{n} = \frac{n^{2} \hbar^{2} }{2mr^{2} }$
(в) Из сохранения энергии $\frac{p^{2} }{2m} + \frac{1}{2} \alpha x^{2} = E$
$p = \sqrt{2mE - m \alpha x^{2} }$
Тогда $\oint pdx = \oint \sqrt{2mE - m \alpha x^{2} } dx=
2 \sqrt{ m \alpha} \int_{ - \sqrt{ \frac{2E}{ \alpha} } }^{ \sqrt{ \frac{2E}{ \alpha} } } \sqrt{ \frac{2E}{ \alpha} - x^{2} } dx$
Интеграл $\int_{-a}^{a} \sqrt{a^{2} - x^{2} } dx = a^{2} \int_{- \pi /2}^{ \pi /2} \cos^{2} \theta d \theta = \frac{a^{2} }{2} \int_{ - \pi /2}^{ \pi /2} (1 + \cos 2 \theta) d \theta = a^{2} \frac{ \pi}{2}$.
Таким образом, $\oint pdx = \pi \sqrt{m \alpha} \frac{2E}{ \alpha} = E \cdot 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ \alpha} } = 2 \pi n \hbar$
Следовательно, $E_{n} = n \hbar \sqrt{ \frac{ \alpha}{m} }$
(г) Требуется найти энергетические уровни круговой орбиты $U(r) = - \frac{ \alpha}{r}$
На круговой орбите частица имеет только тангенциальную скорость и условие квантования $\oint pdx = mv \cdot 2 \pi r = 2 \pi n \hbar$
так что $mvr = M = n \hbar$
Энергия частицы равна
$E = \frac{n^{2} \hbar^{2} }{2mr^{2} } - \frac{ \alpha}{r}$
Равновесие требует, чтобы энергия как функция $r$ была минимальной. Таким образом
$\frac{n^{2} \hbar^{2} }{mr^{3} } = \frac{ \alpha}{r^{2} }$ или $r = \frac{n^{2} \hbar^{2} }{m \alpha}$
следовательно $E_{n} = - \frac{m \alpha^{2} }{2n^{2} \hbar^{2} }$
