ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Вычислить для атома водорода и иона $He^{+}$:
а) радиус первой боровской орбиты и скорость электрона на ней;
б) кинетическую энергию и энергию связи электрона в основном состоянии;
в) потенциал ионизации, первый потенциал возбуждения и длину волны резонансной линии ($n^{ \prime} = 2 \rightarrow n = 1$).


Решение:


В задаче 8470 были выведены основные уравнения. Мы перепишем их здесь и определим требуемые значения.

(a) $r_{1} = \frac{ \hbar^{2} }{m frac{ Ze^{2} }{ 4 \pi \epsilon_{0} } }, Z = 1$ для $H, Z = 2$ для $He^{+}$

Таким образом $r_{1} = 52,8 пм$, для атома $H$
$r_{1} = 26,4 мкм$, для ионов $He^{ +}$

$v_{1} = \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} \hbar }$
$v_{1} = 2,191 \cdot 10^{6} м/с$ для атома $H$
$=4,382 \cdot 10^{6} м / с$ для ионов $He^{+}$

(б) $T = \frac{1}{2} mv_{1}^{2} = \frac{m (Ze^{2} )^{2} }{(4 \pi \epsilon_{0} )^{2} 2 \hbar^{2} }$

$Т = 13,65 эВ$ для атома $H$
$T = 54,6 эВ$ для ионов $He^{+}$

В обоих случаях $E_{b} = T$, поскольку $E_{b} = - E$ и $E = - T$ (Напомним, что для кулоновской силы $V = -2T$)

(d) потенциал ионизации $\phi_{i}$ задается формулой

$e \phi_{i} = E_{b}$

Итак $\phi_{i} = 13,65$ вольт для атома $H$
$\phi_{i} = 54,6$ вольт для иона $He^{ +}$

Уровни энергии и $E_{n} = - \frac{13,65}{n^{2} } эВ$ для атома водорода
и $E_{n} = - \frac{54,6}{n^{2} } эВ$ для ионов $He^{+}$

Таким образом, $\phi_{1} = 13,65 \left ( 1 - \frac{1}{4} \right ) вольт = 10,23$ вольт для атома $H$
$\phi_{1} = 4 \cdot 10,23 = 40,9$ вольт для иона $He^{+}$

Длина волны резонансной линии

$(n^{ \prime} = 2 \rightarrow n = 1$) задается формулой

$\frac{2 \pi \hbar c}{ \lambda} = - \frac{13,6}{4} + \frac{13,6}{1} = 10,23 эВ$ для атома водорода

Итак $\lambda = 121,2 нм$ Для $H$ атомов

$He^{+}$ $\lambda = \frac{121,2}{4} = 30,3 нм$.