Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8470
2018-07-04 
Показать, что частота $\omega$ фотона, возникающего при переходе электрона между соседними круговыми орбитами водородоподобного иона, удовлетворяет неравенству $\omega_{n} < \omega < \omega_{n+1}$, где $\omega_{n}$ и $\omega_{n + 1}$ - частоты обращения электрона вокруг ядра на этих круговых орбитах. Убедиться, что при $n \rightarrow - \infty$ частота фотона $\omega \rightarrow \omega_{n}$.
Решение:
Для круговой орбите имеем следующую формулу
$\frac{mv^{2}}{r} = \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} }$
$mvr = n \hbar$
Тогда $v = \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} n \hbar }$
$r = \frac{n^{2} }{Z} \frac{ \hbar (4 \pi \epsilon_{0} ) }{me^{2} }$
Энергия $E$ равна $E_{n} = \frac{1}{2} mv^{2} - \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r } = \left ( \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } \right )^{2} \frac{m}{2 \hbar^{2} n^{2} } - \left ( \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } \right )^{2} \frac{m}{ \hbar^{2}n^{2} } = \frac{m \left ( \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } \right )^{2} }{2 \hbar^{2}n^{2} }$
и круговая частота этой орбиты равна
$\omega_{n} = \frac{v}{r} = \frac{ \left ( \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } \right )^{2} m}{ \hbar^{3}n^{3} }$
С другой стороны, частота $\omega$ света, испускаемого, когда электрон совершает переход $n + 1 \rightarrow n$ является
$\omega = \left ( \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } \right )^{2} \frac{m}{2 \hbar^{2} } \left ( \frac{1}{n^{2} } - \frac{1}{(n + 1 )^{2} } \right )$
Таким образом, неравенство
$\omega_{n} > \omega > \omega_{n + 1}$
будет
$\frac{1}{n^{3} } > \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{n^{2} } - \frac{1}{(n + 1)^{2} } \right ) > \frac{1}{(n + 1)^{3} }$
Или умножая на $n^{2} (n + 1)^{2}$
$\frac{(n + 1)^{2} }{n} > \frac{1}{2}(2n + 1) > \frac{n^{2} }{n + 1}$
Это можно записать как
$n + 2 + \frac{1}{n} > n + \frac{1}{2} > n + 1 - 2 + \frac{1}{n + 1}$
Это очевидно, потому что $- 1 + \frac{1}{n + 1} < - \frac{1}{2}$, так как $n \geq 1$
При больших $n$
$\frac{ \omega_{n} }{ \omega_{n + 1} } = \left ( \frac{n + 1}{n} \right )^{3} = 1 + \frac{3}{n}$
Тогда $\frac{ \omega_{n} }{ \omega_{n + 1} } \rightarrow 1$ и мы можем сказать $\frac{ \omega }{ \omega_{n} } \rightarrow 1$
Показать, что частота $\omega$ фотона, возникающего при переходе электрона между соседними круговыми орбитами водородоподобного иона, удовлетворяет неравенству $\omega_{n} < \omega < \omega_{n+1}$, где $\omega_{n}$ и $\omega_{n + 1}$ - частоты обращения электрона вокруг ядра на этих круговых орбитах. Убедиться, что при $n \rightarrow - \infty$ частота фотона $\omega \rightarrow \omega_{n}$.
Решение:
Для круговой орбите имеем следующую формулу
$\frac{mv^{2}}{r} = \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} }$
$mvr = n \hbar$
Тогда $v = \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} n \hbar }$
$r = \frac{n^{2} }{Z} \frac{ \hbar (4 \pi \epsilon_{0} ) }{me^{2} }$
Энергия $E$ равна $E_{n} = \frac{1}{2} mv^{2} - \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r } = \left ( \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } \right )^{2} \frac{m}{2 \hbar^{2} n^{2} } - \left ( \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } \right )^{2} \frac{m}{ \hbar^{2}n^{2} } = \frac{m \left ( \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } \right )^{2} }{2 \hbar^{2}n^{2} }$
и круговая частота этой орбиты равна
$\omega_{n} = \frac{v}{r} = \frac{ \left ( \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } \right )^{2} m}{ \hbar^{3}n^{3} }$
С другой стороны, частота $\omega$ света, испускаемого, когда электрон совершает переход $n + 1 \rightarrow n$ является
$\omega = \left ( \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } \right )^{2} \frac{m}{2 \hbar^{2} } \left ( \frac{1}{n^{2} } - \frac{1}{(n + 1 )^{2} } \right )$
Таким образом, неравенство
$\omega_{n} > \omega > \omega_{n + 1}$
будет
$\frac{1}{n^{3} } > \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{n^{2} } - \frac{1}{(n + 1)^{2} } \right ) > \frac{1}{(n + 1)^{3} }$
Или умножая на $n^{2} (n + 1)^{2}$
$\frac{(n + 1)^{2} }{n} > \frac{1}{2}(2n + 1) > \frac{n^{2} }{n + 1}$
Это можно записать как
$n + 2 + \frac{1}{n} > n + \frac{1}{2} > n + 1 - 2 + \frac{1}{n + 1}$
Это очевидно, потому что $- 1 + \frac{1}{n + 1} < - \frac{1}{2}$, так как $n \geq 1$
При больших $n$
$\frac{ \omega_{n} }{ \omega_{n + 1} } = \left ( \frac{n + 1}{n} \right )^{3} = 1 + \frac{3}{n}$
Тогда $\frac{ \omega_{n} }{ \omega_{n + 1} } \rightarrow 1$ и мы можем сказать $\frac{ \omega }{ \omega_{n} } \rightarrow 1$
