ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Воспользовавшись формулой из предыдущей задачи, оценить время, в течение которого электрон, движущийся в атоме водорода по круговой орбите радиуса $r = 50 пм$, упал бы на ядро. Для простоты считать, что вектор $w$ все время направлен к центру атома.


Решение:


Двигаясь вокруг ядра, электрон излучает и его энергия уменьшается. Это означает, что электрон приближается к ядру. По постановке задачи можно считать, что электрон всегда движется по круговой орбите, а радиальное ускорение по закону Ньютона

$w = \frac{e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} mr^{2} }$

направленно внутрь. Таким образом

$\frac{dE}{dt} = - \frac{ \mu_{0} e^{6} }{6 \pi c} \frac{1}{(4 \pi \epsilon_{0} )^{2} m^{2}r^{4} }$

С другой стороны, для круговой орбите

$E = - \frac{e^{2}}{(4 \pi \epsilon_{0}) mr^{2}}$

Итак $\frac{e^{2}}{(4 \pi \epsilon_{0}) 2r^{2}} \frac{dr}{dt} = - \frac{ \mu_{0} e^{6}}{(4 \pi \epsilon_{0})^{2} 6 \pi cm^{2} r^{4}}$

или $\frac{dr}{dt} = - \frac{ \mu_{0} e^{4}}{(4 \pi \epsilon_{0}) 3 \pi cm^{2} r^{2}}$

Интегрируя $r^{3} = r_{0}^{3} - \frac{ \mu_{0} e^{4} }{4 \pi^{2} \epsilon_{0} cm^{2} } t$

а радиус падает до нуля при

$t_{0} = \frac{4 \pi^{2} \epsilon_{0} cm^{2} r_{0}^{3} }{ \mu_{0} e^{4} } c = 13,1 пс$.