ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Узкий пучок $\alpha$-частиц с кинетической энергией $T = 0,50 МэВ$ падает нормально на золотую фольгу, массовая толщина которой $\rho d = 1,5 мг/см^{2}$. Интенсивность пучка $I_{0} = 5,0 \cdot 10^{5} част./с$. Найти число $\alpha$-частиц, рассеянных фольгой за $\tau = 30 мин$ в интервалах углов:
а) $59 - 61^{ \circ}$; б) свыше $\theta_{0} = 60^{ \circ}$.


Решение:


(а) Из уравнения $dN/N = n \left ( \frac{q_{1}q_{2} }{4T} \right )^{2} \frac{d \Omega}{ \sin^{4} ( \theta /2) }$ получаем

$N( \theta_{0} ) = I_{0} \tau \left ( \frac{ \rho dN_{A} }{A_{Au} } \right ) \left ( \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} (2T) } \right )^{2} 4 \pi \int_{ \theta_{0} }^{ \pi} \frac{ \cos \frac{ \theta}{2} d \theta }{ \sin^{3} \frac{ \theta}{2} }$

(мы использовали $d \Omega = 2\pi \sin \theta d \theta $ и $N = I_{0}I$)

Из условия

$d \theta = 2^{ \circ} = \frac{2}{57,3}$ радиан

Также $Z_{Au} = 79, A_{Au} = 197$. Подставляя полученные значения

$dN = 1,63 \cdot 10^{6}$

(б) Число

$N( \theta_{0} ) = I_{0} \tau \left ( \frac{ \rho dN_{A} }{A_{Au} } \right ) \left ( \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} (2T) } \right )^{2} 4 \pi \int_{ \theta_{0} }^{ \pi} \frac{ \cos \frac{ \theta}{2} d \theta }{ \sin^{3} \frac{ \theta}{2} }$

Интеграл

$2 \int_{ \sin \frac{ \theta_{0} }{2} }^{1} \frac{dx}{x^{2} } = \frac{1}{2} \left [ \frac{-1}{2x^{2} } \right ]_{ \sin \frac{ \theta_{0} }{2} }^{ 1} = ctg^{2} \frac{ \theta_{0} }{2}$

Таким образом $N( \theta_{0} ) = \pi nd \left ( \frac{Ze^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} T } \right )^{2} I_{0} \tau ctg^{2} \frac{ \theta_{0} }{2}$

где $n$ - концентрация ядер в фольге. ($n = \rho N_{1} / A_{Au}$)

Подстановка дает $N( \theta_{0} ) = 2,02 \cdot 10^{7}$