ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-04   
Частица с кинетической энергией $T$ рассеивается на сферической потенциальной яме радиуса $R$ и глубины $U_{0}$, т. е. полем, в котором потенциальная энергия частицы имеет вид

$U = \begin{cases} 0 при & r> R\\ - U_{0} при & r < R \end{cases}$,

где $r$ — расстояние от центра ямы. Найти связь между прицельным параметром частицы $b$ и углом $\theta$, на который она отклонится от первоначального направления движения.


Решение:



В области, где потенциал отличен от нуля, кинетическая энергия частицы, по закону сохранения, $T + U_{0}$ и импульс частицы имеют величину $\sqrt{ 2m (T + U_{0})}$. На границе сила радиальная, поэтому тангенциальная составляющая импульса не изменяется:

$\sqrt{2mT} \sin \alpha = \sqrt{2m(T + U_{0} ) } \sin \phi$

Тогда $\sin \phi = \sqrt{ \frac{T}{T + U_{0} } } \sin \alpha = \frac{ \sin \alpha }{n}$

где $n = \sqrt{1 + \frac{U_{0} }{T} }$. Также $\theta = 2 ( \alpha - \phi)$

Следовательно

$\sin \frac{ \theta}{2} = \sin ( \alpha - \phi) = \sin \alpha \cos \phi - \cos \alpha \sin \phi = \sin \alpha \left ( \cos \phi - \frac{ \cos \alpha}{n} \right )$

или $\frac{n \sin \theta /2 }{ \sin \alpha} = \sqrt{n^{2} - \sin^{2} \alpha } - \cos \alpha$

или $\left ( \frac{n \sin \theta / 2}{ \sin \alpha} + \cos \alpha \right )^{2} = n^{2} - \sin^{2} \alpha$

или $n^{2} \sin^{2} \frac{ \theta }{2} ctg^{2} \alpha + 2 n \sin \frac{ \theta}{2} ctg \alpha + 1 = n^{2} \cos^{2} \frac{ \theta}{2}$

или $ctg \alpha =\frac{n \cos \frac{ \theta}{2} - 1 }{n \sin \frac{ \theta}{2} }$

следовательно $\sin \alpha = \frac{n \sin \frac{ \theta}{2} }{sqrt{1 + n^{2} -2n \cos \frac{ \theta}{2} } }$

Наконец, параметр удара

$b = R \sin \alpha = \frac{nR \sin \frac{ \theta}{2} }{ \sqrt{1 + n^{2} - 2n \cos \frac{ \theta}{2} } }$.