Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8454
2018-07-04 
Альфа-частица с кинетической энергией $T = 0,50 МэВ$ рассеялась под углом $\theta = 90^{ \circ}$ на кулоновском поле неподвижного ядра атома ртути. Найти:
а) наименьший радиус кривизны ее траектории;
б) минимальное расстояние, на которое она сблизилась с ядром.
Решение:
Мы проигнорируем отдачу ядра $Hg$.
(а) Пусть А - точка ближайшего приближения к центру С, $AC = r_{min}$. В точке А движение мгновенно круговое, так как радиальная скорость исчезает. Тогда, если $v_{0}$ - скорость частицы в точке A, справедливы уравнения
$\Gamma = \frac{1}{2} mv_{0}^{2} + \frac{Z_{1}Z_{2} e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r_{min} }$ (1)
$mv-{0}r_{min} = \sqrt{2mT}b$ (2)
$\frac{mv_{0}^{2} }{ \rho_{min} } = \frac{Z_{1}Z_{2} e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r_{min} }$ (3)
(Из закона Ньютона, где $\rho = \rho_{min}$ - радиус кривизны пути в точке A и $\rho$ минимален в A по симметрии. Наконец, уравнение $tg \frac{ \theta}{2} = \frac{q_{1} q_{2} }{2bT}$ имеет вид
$b = \frac{Z_{1}Z_{2}e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} (2T) } ctg \frac{ \theta}{2}$ (4)
Из (2) и (3) $\frac{2Tb^{2} }{ \rho_{min} } = \frac{Z_{1}Z_{2}e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} }$
или $\rho_{min} = \frac{Z_{1}Z_{2}e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} (2T) } ctg^{2} \frac{ \theta}{2}$,
с $z_{1} = 2, z_{2} = 90$ получаем
$\rho_{min} = 0,231 пм$.
(б) Из (2) и (4) запишем
$r_{min} = \frac{Z_{1}Z_{2}e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{2mT} } \frac{ctg \theta / 2}{v_{0} }$,
Подставляя в (1) $T = \frac{1}{2} mv_{0}^{2} +\sqrt{2mT} v_{0} tg \frac{ \theta}{2}$
Решение для $v_{0}$ получаем $v_{0} = \sqrt{ \frac{2T}{m} } \left ( sec \frac{ \theta}{2} - tg \frac{ \theta}{2} \right )$
Тогда $r_{min} = \frac{Z_{1}Z_{2}e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} (2T) } \frac{ctg \theta / 2}{ sec \theta /2 - tg \theta / 2 } = \frac{Z_{1}Z_{2}e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} (2T) } ctg \frac{ \theta}{2} \left ( \sec \frac{ \theta}{2} + tg \frac{ \theta}{2} \right ) = \frac{Z_{1}Z_{2}e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} (2T) } \left ( 1 + cosec \frac{ \theta}{2} \right ) = 0,557 пм$.
Альфа-частица с кинетической энергией $T = 0,50 МэВ$ рассеялась под углом $\theta = 90^{ \circ}$ на кулоновском поле неподвижного ядра атома ртути. Найти:
а) наименьший радиус кривизны ее траектории;
б) минимальное расстояние, на которое она сблизилась с ядром.
Решение:
Мы проигнорируем отдачу ядра $Hg$.
(а) Пусть А - точка ближайшего приближения к центру С, $AC = r_{min}$. В точке А движение мгновенно круговое, так как радиальная скорость исчезает. Тогда, если $v_{0}$ - скорость частицы в точке A, справедливы уравнения
$\Gamma = \frac{1}{2} mv_{0}^{2} + \frac{Z_{1}Z_{2} e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r_{min} }$ (1)
$mv-{0}r_{min} = \sqrt{2mT}b$ (2)
$\frac{mv_{0}^{2} }{ \rho_{min} } = \frac{Z_{1}Z_{2} e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r_{min} }$ (3)
(Из закона Ньютона, где $\rho = \rho_{min}$ - радиус кривизны пути в точке A и $\rho$ минимален в A по симметрии. Наконец, уравнение $tg \frac{ \theta}{2} = \frac{q_{1} q_{2} }{2bT}$ имеет вид
$b = \frac{Z_{1}Z_{2}e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} (2T) } ctg \frac{ \theta}{2}$ (4)
Из (2) и (3) $\frac{2Tb^{2} }{ \rho_{min} } = \frac{Z_{1}Z_{2}e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} }$
или $\rho_{min} = \frac{Z_{1}Z_{2}e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} (2T) } ctg^{2} \frac{ \theta}{2}$,
с $z_{1} = 2, z_{2} = 90$ получаем
$\rho_{min} = 0,231 пм$.
(б) Из (2) и (4) запишем
$r_{min} = \frac{Z_{1}Z_{2}e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{2mT} } \frac{ctg \theta / 2}{v_{0} }$,
Подставляя в (1) $T = \frac{1}{2} mv_{0}^{2} +\sqrt{2mT} v_{0} tg \frac{ \theta}{2}$
Решение для $v_{0}$ получаем $v_{0} = \sqrt{ \frac{2T}{m} } \left ( sec \frac{ \theta}{2} - tg \frac{ \theta}{2} \right )$
Тогда $r_{min} = \frac{Z_{1}Z_{2}e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} (2T) } \frac{ctg \theta / 2}{ sec \theta /2 - tg \theta / 2 } = \frac{Z_{1}Z_{2}e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} (2T) } ctg \frac{ \theta}{2} \left ( \sec \frac{ \theta}{2} + tg \frac{ \theta}{2} \right ) = \frac{Z_{1}Z_{2}e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} (2T) } \left ( 1 + cosec \frac{ \theta}{2} \right ) = 0,557 пм$.
