Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8453
2018-07-04 
На какое минимальное расстояние приблизится $\alpha$-частица с кинетической энергией $T = 0,40 МэВ$ (при лобовом соударении):
а) к покоящемуся тяжелому ядру атома свинца;
б) к первоначально покоившемуся легкому свободному ядру $Li^{7}$?
Решение:
(а) В случае $Pb$ мы будем игнорировать отдачу ядра как из-за того, что $Pb$ достаточно тяжелый ($A_{Pb} = 208 = 52A_{He}$), также и потому, что $Pb$ не является свободным. Тогда для ядра при столкновении, кинетическая энергия $\alpha$-частица должна стать нулевыой (поскольку $\alpha$-частица вернется в эту точку). Тогда
$\frac{2 Z e^{2}}{2 \pi \epsilon_{0} r_{min} } = T$
( ($4 \pi \epsilon_{0}$) - отсутсвует в гауссовских единицах.). Таким образом, значение
$r_{min} = 0,591 пм$.
(б) Здесь мы должны учитывать тот факт, что часть энергии расходуется на отдачу ядра $Li$. Предположим $x_{1}$ - координата некоторой произвольной точки $\alpha$ - частицы на линии, соединяющей ее с ядром $Li$, координатой $x_{2}$ - ядра $Li$ относительно той же точки. Тогда мы имеем уравнения импульса энергии
$\frac{1}{2} m_{1} \dot{x}_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2} \dot{x}_{2}^{2} + \frac{2 \cdot 3e^{2} }{(4 \pi \epsilon_{0} )|x_{1} - x_{} | } = T$
$m_{1} \dot{x}_{1} + m_{2} \dot{x}_{2} = \sqrt{2m_{1}T }$
Здесь $m_{1}$ = масса ядра $He^{++}$ $m_{2}$ массы ядра $Li$. Убирая $\dot{x}_{2}$
$T = \frac{1}{2} m_{1} \dot{x}_{1}^{2} + \frac{1}{m_{2} } ( \sqrt{2m_{1}T } - m_{1} \dot{x}_{1} )^{2} + \frac{6e^{2} }{(4 \pi \epsilon_{0} )(x_{1} - x_{} ) }$
$\frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} }T = \frac{1}{2m_{2} } \left ( \sqrt{m_{1}(m_{1} + m_{2} ) \dot{x}_{1} - \sqrt{ \frac{m_{1} }{m_{1} + m_{2} } } \sqrt{2m_{1}T } } \right )^{2} + \frac{6e^{2} }{2 \pi \epsilon_{0} |x_{1} - x_{2}| }$
Для наименьшего расстояния второе слагаемое справа должно быть наибольшим, что означает, что первый член должен исчезнуть.
Таким образом $|x_{1} - x_{2} |_{min} = \frac{6e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} T} \left ( 1 + \frac{m_{1} }{m_{2} } \right )$
Используя $\frac{m_{1} }{m_{2} } = \frac{4}{7}$ и другие значения, получаем
$|x_{1} - x_{2}|_{min} = 0,034 пм$.
(В гауссовских единицах коэффициент $4 \pi \epsilon_{0}$ отсутствует).
На какое минимальное расстояние приблизится $\alpha$-частица с кинетической энергией $T = 0,40 МэВ$ (при лобовом соударении):
а) к покоящемуся тяжелому ядру атома свинца;
б) к первоначально покоившемуся легкому свободному ядру $Li^{7}$?
Решение:
(а) В случае $Pb$ мы будем игнорировать отдачу ядра как из-за того, что $Pb$ достаточно тяжелый ($A_{Pb} = 208 = 52A_{He}$), также и потому, что $Pb$ не является свободным. Тогда для ядра при столкновении, кинетическая энергия $\alpha$-частица должна стать нулевыой (поскольку $\alpha$-частица вернется в эту точку). Тогда
$\frac{2 Z e^{2}}{2 \pi \epsilon_{0} r_{min} } = T$
( ($4 \pi \epsilon_{0}$) - отсутсвует в гауссовских единицах.). Таким образом, значение
$r_{min} = 0,591 пм$.
(б) Здесь мы должны учитывать тот факт, что часть энергии расходуется на отдачу ядра $Li$. Предположим $x_{1}$ - координата некоторой произвольной точки $\alpha$ - частицы на линии, соединяющей ее с ядром $Li$, координатой $x_{2}$ - ядра $Li$ относительно той же точки. Тогда мы имеем уравнения импульса энергии
$\frac{1}{2} m_{1} \dot{x}_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2} \dot{x}_{2}^{2} + \frac{2 \cdot 3e^{2} }{(4 \pi \epsilon_{0} )|x_{1} - x_{} | } = T$
$m_{1} \dot{x}_{1} + m_{2} \dot{x}_{2} = \sqrt{2m_{1}T }$
Здесь $m_{1}$ = масса ядра $He^{++}$ $m_{2}$ массы ядра $Li$. Убирая $\dot{x}_{2}$
$T = \frac{1}{2} m_{1} \dot{x}_{1}^{2} + \frac{1}{m_{2} } ( \sqrt{2m_{1}T } - m_{1} \dot{x}_{1} )^{2} + \frac{6e^{2} }{(4 \pi \epsilon_{0} )(x_{1} - x_{} ) }$
$\frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} }T = \frac{1}{2m_{2} } \left ( \sqrt{m_{1}(m_{1} + m_{2} ) \dot{x}_{1} - \sqrt{ \frac{m_{1} }{m_{1} + m_{2} } } \sqrt{2m_{1}T } } \right )^{2} + \frac{6e^{2} }{2 \pi \epsilon_{0} |x_{1} - x_{2}| }$
Для наименьшего расстояния второе слагаемое справа должно быть наибольшим, что означает, что первый член должен исчезнуть.
Таким образом $|x_{1} - x_{2} |_{min} = \frac{6e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} T} \left ( 1 + \frac{m_{1} }{m_{2} } \right )$
Используя $\frac{m_{1} }{m_{2} } = \frac{4}{7}$ и другие значения, получаем
$|x_{1} - x_{2}|_{min} = 0,034 пм$.
(В гауссовских единицах коэффициент $4 \pi \epsilon_{0}$ отсутствует).
