Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8451
2018-07-04 
Вычислить согласно модели Томсона радиус атома водорода и длину волны испускаемого им света, если известно, что энергия ионизации атома $E = 13,6 эВ$.
Решение:
Модель Томсона состоит из равномерно заряженного атома, в котором электроны покоятся в определенных точках равновесия. Для атома водорода заряд на ядре равен + е, а заряд электрона - е. Потенциал из задачи 7337 (а) равен
$\phi_{0} = \left ( \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \right ) \frac{3e}{2R}$
где $R$ - радиус распределения заряда атома. Потенциальная энергия электрона $ - e \phi_{0}$, а поскольку электрон покоится, это также полная энергия. Для ионизации такого электрона потребуется энергия $E = e \phi_{0}$
Отсюда находим $R = \left ( \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \right ) \frac{3e^{2} }{2E}$
В системе Гаусса коэффициент $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} }$ отсутствует.
Подставляя значения, получаем $R = 0,159 нм$.
Свет излучается, когда электрон колеблется. Если мы немного смещаем электрон внутри атома, давая ему толчок $r$ в каком-то радиальном направлении и энергию $\delta E$ осцилляции, тогда, поскольку потенциал на расстоянии $r$ в атоме равен
$\phi(r) = = \left ( \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \right ) \frac{e}{R} \left ( \frac{3}{2} - \frac{r^{2} }{2R^{2} } \right ) $
полная энергия атома становится
$\frac{1}{2}mr^{2} - \left ( \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \right ) \frac{e^{2} }{R} \left ( \frac{3}{2} - \frac{r^{2} }{2R^{2} } \right ) = - e \phi_{0} + \delta E$
или $\delta E = \frac{1}{2}m \dot{r}^{2} + \left ( \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \right ) \frac{e^{2} }{2R^{3} }r^{2}$
Это энергия гармонического осциллятора, частота которого равна: $\omega^{2} = \left ( \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \right ) \frac{e^{2} }{mR^{3} }$
Колеблющийся электрон испускает излучение с частотой $\omega$, длина волны которой равна
$\lambda = \frac{2 \pi c}{ \omega} = \frac{2 \pi c}{e} \sqrt{mR^{2} } (4 \pi \epsilon_{0} )^{1/2}$
В гауссовских единицах отсутствует коэффициент $(4 \pi \epsilon_{0} )^{1/2}$.
Подставляя значения, получаем $\lambda = 0,237 мкм$.
Вычислить согласно модели Томсона радиус атома водорода и длину волны испускаемого им света, если известно, что энергия ионизации атома $E = 13,6 эВ$.
Решение:
Модель Томсона состоит из равномерно заряженного атома, в котором электроны покоятся в определенных точках равновесия. Для атома водорода заряд на ядре равен + е, а заряд электрона - е. Потенциал из задачи 7337 (а) равен
$\phi_{0} = \left ( \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \right ) \frac{3e}{2R}$
где $R$ - радиус распределения заряда атома. Потенциальная энергия электрона $ - e \phi_{0}$, а поскольку электрон покоится, это также полная энергия. Для ионизации такого электрона потребуется энергия $E = e \phi_{0}$
Отсюда находим $R = \left ( \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \right ) \frac{3e^{2} }{2E}$
В системе Гаусса коэффициент $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} }$ отсутствует.
Подставляя значения, получаем $R = 0,159 нм$.
Свет излучается, когда электрон колеблется. Если мы немного смещаем электрон внутри атома, давая ему толчок $r$ в каком-то радиальном направлении и энергию $\delta E$ осцилляции, тогда, поскольку потенциал на расстоянии $r$ в атоме равен
$\phi(r) = = \left ( \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \right ) \frac{e}{R} \left ( \frac{3}{2} - \frac{r^{2} }{2R^{2} } \right ) $
полная энергия атома становится
$\frac{1}{2}mr^{2} - \left ( \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \right ) \frac{e^{2} }{R} \left ( \frac{3}{2} - \frac{r^{2} }{2R^{2} } \right ) = - e \phi_{0} + \delta E$
или $\delta E = \frac{1}{2}m \dot{r}^{2} + \left ( \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \right ) \frac{e^{2} }{2R^{3} }r^{2}$
Это энергия гармонического осциллятора, частота которого равна: $\omega^{2} = \left ( \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \right ) \frac{e^{2} }{mR^{3} }$
Колеблющийся электрон испускает излучение с частотой $\omega$, длина волны которой равна
$\lambda = \frac{2 \pi c}{ \omega} = \frac{2 \pi c}{e} \sqrt{mR^{2} } (4 \pi \epsilon_{0} )^{1/2}$
В гауссовских единицах отсутствует коэффициент $(4 \pi \epsilon_{0} )^{1/2}$.
Подставляя значения, получаем $\lambda = 0,237 мкм$.
