Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8446
2018-07-01 
Фотон рассеялся под углом $\theta = 120^{ \circ}$ на покоившемся свободном электроне, в результате чего электрон получил кинетическую энергию $T = 0,45 МэВ$. Найти энергию фотона до рассеяния.
Решение:
Из формулы Комптона
$\lambda = \lambda_{0} + \frac{2 \pi \hbar}{mc} (1 - \cos \theta)$
Из закона сохранения
$\frac{2 \pi \hbar c}{ \lambda_{0} } = \frac{2 \pi \hbar c}{ \lambda} + T = \frac{2 \pi \hbar c}{ \lambda_{0} + \frac{2 \pi \hbar }{mc}(1 - \cos \theta) } + T$
или $\frac{4 \pi \hbar}{mc} \sin^{2} \frac{ \theta}{2} = \frac{T}{2 \pi \hbar c} \lambda_{0} \left ( \lambda_{0} + \frac{2 \pi \hbar}{mc} \sin^{2} \frac{ \theta}{2} \right )$
зная, что $\hbar \omega_{0} = 2 \pi \hbar c / \lambda_{0}$
$\frac{2 \sin^{2} \theta /2 }{ mc^{2} } = \frac{T}{ \hbar \omega_{0} } \left ( \frac{1}{ \hbar \omega_{0} } + \frac{2}{mc^{2} } \sin^{2} \frac{ \theta}{2} \right )$
Следовательно $\left ( \frac{1}{ \hbar \omega } \right )^{2} + 2 \frac{1 }{ \hbar \omega_{0} } \frac{ \sin^{2} \frac{ \theta}{2} }{mc^{2} } - \frac{2 \sin^{2} \frac{ \theta}{2} }{mc^{2} T} = 0$
$\left ( \frac{1}{ \hbar \omega_{0} } + \frac{ \sin^{2} \frac{ \omega}{2} }{mc^{2} } \right )^{2} = \frac{2 \sin^{2} \frac{ \theta}{2} }{mc^{2}T } + \left ( \frac{ \sin^{2} \frac{ \theta}{2} }{ mc^{2} } \right )^{2}$
$\frac{1}{ \hbar \omega_{0} } = \frac{ \sin^{2} \frac{ \theta}{2} }{mc^{2} } \left ( \sqrt{1 + \frac{2mc^{2} }{T \sin^{2} \theta / 2 } } - 1 \right )$
или $\hbar \omega_{0} = \frac{mc^{2} / \sin^{2} \theta / 2 }{ \sqrt{ 1 + \frac{2mc^{2} }{T \sin^{2} \theta /2 } } - 1 } = \frac{T}{2} \left ( \sqrt{1 + \frac{2mc^{2} }{T \sin^{2} \theta / 2 } } + 1 \right )$
Подставляя значения $\hbar \omega_{0} = 0,677 МэВ$
Фотон рассеялся под углом $\theta = 120^{ \circ}$ на покоившемся свободном электроне, в результате чего электрон получил кинетическую энергию $T = 0,45 МэВ$. Найти энергию фотона до рассеяния.
Решение:
Из формулы Комптона
$\lambda = \lambda_{0} + \frac{2 \pi \hbar}{mc} (1 - \cos \theta)$
Из закона сохранения
$\frac{2 \pi \hbar c}{ \lambda_{0} } = \frac{2 \pi \hbar c}{ \lambda} + T = \frac{2 \pi \hbar c}{ \lambda_{0} + \frac{2 \pi \hbar }{mc}(1 - \cos \theta) } + T$
или $\frac{4 \pi \hbar}{mc} \sin^{2} \frac{ \theta}{2} = \frac{T}{2 \pi \hbar c} \lambda_{0} \left ( \lambda_{0} + \frac{2 \pi \hbar}{mc} \sin^{2} \frac{ \theta}{2} \right )$
зная, что $\hbar \omega_{0} = 2 \pi \hbar c / \lambda_{0}$
$\frac{2 \sin^{2} \theta /2 }{ mc^{2} } = \frac{T}{ \hbar \omega_{0} } \left ( \frac{1}{ \hbar \omega_{0} } + \frac{2}{mc^{2} } \sin^{2} \frac{ \theta}{2} \right )$
Следовательно $\left ( \frac{1}{ \hbar \omega } \right )^{2} + 2 \frac{1 }{ \hbar \omega_{0} } \frac{ \sin^{2} \frac{ \theta}{2} }{mc^{2} } - \frac{2 \sin^{2} \frac{ \theta}{2} }{mc^{2} T} = 0$
$\left ( \frac{1}{ \hbar \omega_{0} } + \frac{ \sin^{2} \frac{ \omega}{2} }{mc^{2} } \right )^{2} = \frac{2 \sin^{2} \frac{ \theta}{2} }{mc^{2}T } + \left ( \frac{ \sin^{2} \frac{ \theta}{2} }{ mc^{2} } \right )^{2}$
$\frac{1}{ \hbar \omega_{0} } = \frac{ \sin^{2} \frac{ \theta}{2} }{mc^{2} } \left ( \sqrt{1 + \frac{2mc^{2} }{T \sin^{2} \theta / 2 } } - 1 \right )$
или $\hbar \omega_{0} = \frac{mc^{2} / \sin^{2} \theta / 2 }{ \sqrt{ 1 + \frac{2mc^{2} }{T \sin^{2} \theta /2 } } - 1 } = \frac{T}{2} \left ( \sqrt{1 + \frac{2mc^{2} }{T \sin^{2} \theta / 2 } } + 1 \right )$
Подставляя значения $\hbar \omega_{0} = 0,677 МэВ$
