Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8413
2018-07-01 
Получить с помощью формулы Планка приближенные выражения для объемной спектральной плотности излучения $u_{ \omega}$:
а) в области, где $\hbar \omega \ll kT$ (формула Рэлея — Джинса);
б) в области, где $\hbar \omega \gg kT$ (формула Вина).
Решение:
Из формулы Планка
$u_{ \omega} = \frac{ \hbar \omega^{3} }{ \pi^{2} c^{3} } \frac{1}{e^{ \hbar \omega / kT} - 1} $
(a) В диапазоне $\hbar \omega \ll kT$ (длинная длина волны или высокая температура).
$u_{ \omega} \rightarrow \frac{ \hbar \omega^{3} }{ \pi^{2} c^{3} } \frac{1}{ \frac{ \hbar \omega }{kT} } = \frac{ \omega^{2} }{ \pi^{2}c^{3}} kT$, используя $e^{x} = 1 + x$ для малых $x$.
(б) В диапазоне $\hbar \omega \gg T$ (высокая частота или низкая температура):
$\frac{ \hbar \omega}{kT} \gg 1$ до $e^{ \frac{ \hbar \omega }{kT} } \gg 1$
и $u_{ \omega} = \frac{ \hbar \omega^{3} }{ \pi^{2} c^{3} } e^{ - \frac{ \hbar \omega}{kT} }$
Получить с помощью формулы Планка приближенные выражения для объемной спектральной плотности излучения $u_{ \omega}$:
а) в области, где $\hbar \omega \ll kT$ (формула Рэлея — Джинса);
б) в области, где $\hbar \omega \gg kT$ (формула Вина).
Решение:
Из формулы Планка
$u_{ \omega} = \frac{ \hbar \omega^{3} }{ \pi^{2} c^{3} } \frac{1}{e^{ \hbar \omega / kT} - 1} $
(a) В диапазоне $\hbar \omega \ll kT$ (длинная длина волны или высокая температура).
$u_{ \omega} \rightarrow \frac{ \hbar \omega^{3} }{ \pi^{2} c^{3} } \frac{1}{ \frac{ \hbar \omega }{kT} } = \frac{ \omega^{2} }{ \pi^{2}c^{3}} kT$, используя $e^{x} = 1 + x$ для малых $x$.
(б) В диапазоне $\hbar \omega \gg T$ (высокая частота или низкая температура):
$\frac{ \hbar \omega}{kT} \gg 1$ до $e^{ \frac{ \hbar \omega }{kT} } \gg 1$
и $u_{ \omega} = \frac{ \hbar \omega^{3} }{ \pi^{2} c^{3} } e^{ - \frac{ \hbar \omega}{kT} }$
