ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-01   
Показать, что преобразование угла $\theta$ между направлением распространения света и осью х при переходе от $K$ - к $K^{ \prime}$ - системе отсчета определяется формулой

$\cos \theta^{ \prime} = \frac{ \cos \theta - \beta}{1 - \beta \cos \theta}$,

где $\beta = V/c$, $V$ — скорость $K^{ \prime}$ - системы относительно $K$ - системы. Оси $x$ и $x^{ \prime}$ обеих систем отсчета совпадают.


Решение:



Рассмотрим инвариантность фазы волны, движущейся в плоскости х - у. Запишем

$\omega^{ \prime} t^{ \prime} - k_{x}^{ \prime} \xi^{ \prime} - k_{y}^{ \prime} y^{ \prime} = \omega t - k_{x} \xi - k_{y} y$

Из преобразований Лоренца,

$= \omega{ \prime} \gamma \left ( t = \frac{vx}{c} \right ) - k_{x}^{ \prime} (x - vt) \gamma - k_{y}^{ \prime} y$

поэтому приравнивая $\omega = \gamma ( \omega^{ \prime} + vk_{x}^{ \prime} )$
$k_{x} = \gamma \left ( k_{x}^{ \prime} + \frac{v \omega^{ \prime} }{c^{2} } \right )$ и $k_{y} = k_{y}^{ \prime}$

$\omega^{ \prime} = \gamma ( \omega^{ \prime} + vk_{x} )$
$k_{x}^{ \prime} = \gamma \left ( k_{x} + \frac{v \omega }{c^{2} } \right )$
$k_{y}^{ \prime} = k_{y}$

Запишем $k_{x}^{ \prime} = k^{ \prime} \cos \theta^{ \prime}, k_{x} = k \cos \theta$
$k_{y}^{ \prime} = k^{ \prime} \sin \theta^{ \prime},k_{y} = k^{ \prime} \sin \theta^{ \prime}$

воспользуемся $ck^{ \prime} = \omega^{ \prime}, ck = \omega$

$\cos \theta^{ \prime} = \frac{ \cos \theta - \beta}{1 - \beta \cos \theta}$

где $\beta = \frac{v}{c}$ и первоначальная система отсчета движется со скоростью $v$ в направлении x

При малых $\beta \ll 1$ ситуация такова, как показано на рисунке.

Мы видим, что $\cos \theta^{ \prime} \approx - \beta$

если $\theta = - \pi /2$.

Тогда $\theta^{ \prime} = - \left ( \frac{ \pi}{2} + \sin^{ -1} \beta \right )$

Именно это мы получаем из элементарного нерелятивистского закона сложения скоростей,