Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8396
2018-07-01 
Газ состоит из атомов массы $m$, находящихся в термодинамическом равновесии при температуре $T$. Пусть $\omega_{0}$ — собственная частота излучаемого атомами света.
а) Показать, что спектральное распределение излучаемого света определяется формулой
$I_{ \omega} = I_{0} e^{ - a (1 - \omega / \omega_{0} )^{2} }$,
($I_{0}$ — спектральная интенсивность, соответствующая частоте $\omega_{0}, a = mc^{2}/2kT$).
б) Найти относительную ширину $\Delta \omega / \omega_{0}$ данной спектральной линии, т. е. ширину линии между частотами, при которых $I_{ \omega} = I_{0}/2$.
Решение:
(а) Пусть $v_{x}$ - проекция вектора скорости излучающего атома на направление наблюдения. Число атомов с проекциями, попадающими в интервал $v_{x}$ и $v_{x} + dv_{x}$, равно
$n(v_{x}) dv_{x} \sim e^{ \frac{- mv_{x}^{2} }{2kT} } dv_{x}$
Частота света, испускаемого атомами, движущимися со скоростью $v_{x}$, равна $\omega = \omega_{0} \left ( 1 + \frac{v_{x} }{c} \right )$. Из выражений можно найти частотное распределение атомов: $n ( \omega) d \omega = n(v_{x}) dv_{x}$. Теперь используя
$v_{x} = c \frac{ \omega - \omega_{0} }{ \omega_{0} }$
мы получаем $n( \omega )d \omega \sim e^{ - \frac{mc^{2} }{2kT} \left ( 1 - \frac{ \omega}{ \omega_{0} } \right )^{2} } \frac{c d \omega}{ \omega_{0} }$
Теперь спектральная плотность излучения $I_{ \omega} \sim n_{ \omega}$
Следовательно $I_{ \omega} = I_{0} e^{ -a \left ( 1 - \frac{ \omega}{ \omega_{0} } \right )^{2} }, a = \frac{mc^{2} }{2kT}$
(Константа пропорциональности фиксирована в $I_{0}$)
(б) Подставив $\omega = \omega_{0} \pm \frac{1}{2} \Delta \omega$ и
$I_{ \omega} = I_{0}/ 2$
получим $\frac{1}{2} = e^{ - a \left ( \frac{ \Delta \omega}{2 \omega_{0} } \right )^{2} }$
Итак $a \left ( \frac{ \Delta \omega}{2 \omega_{0} } \right )^{2} = ln 2$
Следовательно, $\frac{ \Delta \omega}{2 \omega_{0} } = \sqrt{ (2ln 2) kT / mc^{2} }$
и $\frac{ \Delta \omega}{ \omega } = 2 \sqrt{ (2ln 2) kT / mc^{2} }$
Газ состоит из атомов массы $m$, находящихся в термодинамическом равновесии при температуре $T$. Пусть $\omega_{0}$ — собственная частота излучаемого атомами света.
а) Показать, что спектральное распределение излучаемого света определяется формулой
$I_{ \omega} = I_{0} e^{ - a (1 - \omega / \omega_{0} )^{2} }$,
($I_{0}$ — спектральная интенсивность, соответствующая частоте $\omega_{0}, a = mc^{2}/2kT$).
б) Найти относительную ширину $\Delta \omega / \omega_{0}$ данной спектральной линии, т. е. ширину линии между частотами, при которых $I_{ \omega} = I_{0}/2$.
Решение:
(а) Пусть $v_{x}$ - проекция вектора скорости излучающего атома на направление наблюдения. Число атомов с проекциями, попадающими в интервал $v_{x}$ и $v_{x} + dv_{x}$, равно
$n(v_{x}) dv_{x} \sim e^{ \frac{- mv_{x}^{2} }{2kT} } dv_{x}$
Частота света, испускаемого атомами, движущимися со скоростью $v_{x}$, равна $\omega = \omega_{0} \left ( 1 + \frac{v_{x} }{c} \right )$. Из выражений можно найти частотное распределение атомов: $n ( \omega) d \omega = n(v_{x}) dv_{x}$. Теперь используя
$v_{x} = c \frac{ \omega - \omega_{0} }{ \omega_{0} }$
мы получаем $n( \omega )d \omega \sim e^{ - \frac{mc^{2} }{2kT} \left ( 1 - \frac{ \omega}{ \omega_{0} } \right )^{2} } \frac{c d \omega}{ \omega_{0} }$
Теперь спектральная плотность излучения $I_{ \omega} \sim n_{ \omega}$
Следовательно $I_{ \omega} = I_{0} e^{ -a \left ( 1 - \frac{ \omega}{ \omega_{0} } \right )^{2} }, a = \frac{mc^{2} }{2kT}$
(Константа пропорциональности фиксирована в $I_{0}$)
(б) Подставив $\omega = \omega_{0} \pm \frac{1}{2} \Delta \omega$ и
$I_{ \omega} = I_{0}/ 2$
получим $\frac{1}{2} = e^{ - a \left ( \frac{ \Delta \omega}{2 \omega_{0} } \right )^{2} }$
Итак $a \left ( \frac{ \Delta \omega}{2 \omega_{0} } \right )^{2} = ln 2$
Следовательно, $\frac{ \Delta \omega}{2 \omega_{0} } = \sqrt{ (2ln 2) kT / mc^{2} }$
и $\frac{ \Delta \omega}{ \omega } = 2 \sqrt{ (2ln 2) kT / mc^{2} }$
