Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8394
2018-07-01 
Источник, испускающий электромагнитные сигналы с собственной частотой $\omega_{0} = 3,0 \cdot 10^{10} рад/с$, движется с постоянной скоростью $v = 0,80 с$ по прямой, отстоящей от неподвижного наблюдателя Р на расстоянии $l$ (рис.). Найти частоту сигналов, воспринимаемых наблюдателем в момент, когда:
а) источник окажется в точке О;
б) наблюдатель увидит его в точке О.
Решение:
(a) Если свет принимается наблюдателем в точке Р в момент, когда источник находится в O, он должен был испускаться источником, когда он находился в точке $O^{ \prime}$ и перемещался вдоль $O^{ \prime}P$. Тогда, если $O^{ \prime}P = ct, O^{ \prime}O = vt$ apd $\cos \theta = \frac{v}{c} = \beta$
В системе отсчета наблюдателя частота света равна $\omega$, тогда как ее волновой вектор равен
$\frac{ \omega}{c} ( \cos \theta, \sin \theta, 0)$
мы можем вычислить значение $\omega$, связывая его с собственной частотой $\omega$. Соотношение
$\omega_{0} = \frac{ \omega_{0} }{ \sqrt{1 - \beta^{2} } } (1 - \beta \cos \theta)$
(Чтобы получить формулу, в этой форме проще всего заметить, что $\frac{ \omega_{0} }{ \sqrt{1 - v/c^{2} } } - \frac{ \vec{k} \cdot \vec{v} }{ \sqrt{1 - v^{2} / c^{2} } }$ - инвариант, принимающий значение $\omega_{0}$ в системе отсчета покоя источника).
Таким образом $\omega = \frac{ \omega_{0} \sqrt{1 - \beta^{2} } }{1 - \beta^{2} } = \frac{ \omega_{0} }{ \sqrt{1 - \beta^{2} } } = 5 \cdot 10^{10} с^{ -1}$
(б) Для того, чтобы свет, который был принят на момент наблюдения, когда источник в точке O, свет должен излучаться, когда наблюдатель находится в точке О при $90^{ \circ} = \theta$
$\cos \theta = 0$
Тогда, как и раньше, $\omega_{0} = \frac{ \omega}{ \sqrt{1 - \beta^{2} } }$ или $\omega = \omega_{0} \sqrt{ 1 - \beta^{2} } = 1,8 \cdot 10^{10} с^{-1}$
В этом случае наблюдатель получит свет вдоль OP, и он «увидит», что источник находится в О, хотя источник будет двигаться вперед в тот момент, когда свет будет принят.
Источник, испускающий электромагнитные сигналы с собственной частотой $\omega_{0} = 3,0 \cdot 10^{10} рад/с$, движется с постоянной скоростью $v = 0,80 с$ по прямой, отстоящей от неподвижного наблюдателя Р на расстоянии $l$ (рис.). Найти частоту сигналов, воспринимаемых наблюдателем в момент, когда:
а) источник окажется в точке О;
б) наблюдатель увидит его в точке О.
Решение:
(a) Если свет принимается наблюдателем в точке Р в момент, когда источник находится в O, он должен был испускаться источником, когда он находился в точке $O^{ \prime}$ и перемещался вдоль $O^{ \prime}P$. Тогда, если $O^{ \prime}P = ct, O^{ \prime}O = vt$ apd $\cos \theta = \frac{v}{c} = \beta$
В системе отсчета наблюдателя частота света равна $\omega$, тогда как ее волновой вектор равен
$\frac{ \omega}{c} ( \cos \theta, \sin \theta, 0)$
мы можем вычислить значение $\omega$, связывая его с собственной частотой $\omega$. Соотношение
$\omega_{0} = \frac{ \omega_{0} }{ \sqrt{1 - \beta^{2} } } (1 - \beta \cos \theta)$
(Чтобы получить формулу, в этой форме проще всего заметить, что $\frac{ \omega_{0} }{ \sqrt{1 - v/c^{2} } } - \frac{ \vec{k} \cdot \vec{v} }{ \sqrt{1 - v^{2} / c^{2} } }$ - инвариант, принимающий значение $\omega_{0}$ в системе отсчета покоя источника).
Таким образом $\omega = \frac{ \omega_{0} \sqrt{1 - \beta^{2} } }{1 - \beta^{2} } = \frac{ \omega_{0} }{ \sqrt{1 - \beta^{2} } } = 5 \cdot 10^{10} с^{ -1}$
(б) Для того, чтобы свет, который был принят на момент наблюдения, когда источник в точке O, свет должен излучаться, когда наблюдатель находится в точке О при $90^{ \circ} = \theta$
$\cos \theta = 0$
Тогда, как и раньше, $\omega_{0} = \frac{ \omega}{ \sqrt{1 - \beta^{2} } }$ или $\omega = \omega_{0} \sqrt{ 1 - \beta^{2} } = 1,8 \cdot 10^{10} с^{-1}$
В этом случае наблюдатель получит свет вдоль OP, и он «увидит», что источник находится в О, хотя источник будет двигаться вперед в тот момент, когда свет будет принят.
