Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 839
2016-09-08 
Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием $F$ приложена вплотную к плоскому зеркалу. Изображением прямоугольника $MABC$ (точки $M$ и $C$ лежат на главной оптической оси $ML$ линзы) в этой оптической системе является трапеция $MA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ с основаниями $MA^{\prime}$ и $C^{\prime}B^{\prime}$ (см. рисунок). Вершины трапеции $M,A^{\prime},B^{\prime}$ и $C^{\prime}$ являются, соответственно, изображениями вершин $M,A,B$ и $C$ прямоугольника.
Найдите расстояние от точки $M$ до линзы, а также длины оснований и высоту $C^{\prime}M$ трапеции $MA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$. Длины сторон прямоугольника $AB = a$ и $MA = b$. Известно, что $a \ll F$ и $b \ll F$.
Решение:
Решение. Луч $BM$ после отражения от оптической системы должен, по условию, вновь пройти через точку $M$. Это возможно только в том случае, если после преломления в линзе он идёт перпендикулярно зеркалу. Следовательно, точка $M$ является фокусом линзы, а расстояние от неё до центра линзы $L$ равно $ML = F$. Отсюда также вытекает, что точка $B^{\prime}$ лежит на прямой $BM$ (см. рисунок).
Пучок света, исходящий из точки $A$, которая лежит в фокальной плоскости, преобразуется линзой в параллельный пучок. После отражения от зеркала этот пучок остаётся параллельным, а после второго преломления в линзе он преобразуется в пучок, вновь сходящийся в фокальной плоскости. Следовательно, точка $A^{\prime}$ также лежит в фокальной плоскости. Поскольку луч $AL$ линзой не преломляется, то $\angle ALM = \angle A^{\prime}LM$ и $MA^{\prime} = MA =b$.
Из подобия треугольников $MCB$ и $MC^{\prime}B^{\prime}$ имеем $C^{\prime}B^{\prime} = C^{\prime}M^{\prime} \cdot \frac{b}{a}$. Учтем, что $\angle BLM = \angle B^{\prime}LM$; отсюда $\frac{CB}{CL} = \frac{C^{\prime}B^{\prime}}{C^{\prime}L}$ или $\frac{b}{F+a} = \frac{C^{\prime}M}{F - C^{\prime}M} \cdot \frac{b}{a}$. Таким образом, $C^{\prime}M = \frac{aF}{F+2a}$, и $C^{\prime}B^{\prime} = \frac{bF}{F+2a}$.
Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием $F$ приложена вплотную к плоскому зеркалу. Изображением прямоугольника $MABC$ (точки $M$ и $C$ лежат на главной оптической оси $ML$ линзы) в этой оптической системе является трапеция $MA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ с основаниями $MA^{\prime}$ и $C^{\prime}B^{\prime}$ (см. рисунок). Вершины трапеции $M,A^{\prime},B^{\prime}$ и $C^{\prime}$ являются, соответственно, изображениями вершин $M,A,B$ и $C$ прямоугольника.
Найдите расстояние от точки $M$ до линзы, а также длины оснований и высоту $C^{\prime}M$ трапеции $MA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$. Длины сторон прямоугольника $AB = a$ и $MA = b$. Известно, что $a \ll F$ и $b \ll F$.
Решение:
Решение. Луч $BM$ после отражения от оптической системы должен, по условию, вновь пройти через точку $M$. Это возможно только в том случае, если после преломления в линзе он идёт перпендикулярно зеркалу. Следовательно, точка $M$ является фокусом линзы, а расстояние от неё до центра линзы $L$ равно $ML = F$. Отсюда также вытекает, что точка $B^{\prime}$ лежит на прямой $BM$ (см. рисунок).
Пучок света, исходящий из точки $A$, которая лежит в фокальной плоскости, преобразуется линзой в параллельный пучок. После отражения от зеркала этот пучок остаётся параллельным, а после второго преломления в линзе он преобразуется в пучок, вновь сходящийся в фокальной плоскости. Следовательно, точка $A^{\prime}$ также лежит в фокальной плоскости. Поскольку луч $AL$ линзой не преломляется, то $\angle ALM = \angle A^{\prime}LM$ и $MA^{\prime} = MA =b$.
Из подобия треугольников $MCB$ и $MC^{\prime}B^{\prime}$ имеем $C^{\prime}B^{\prime} = C^{\prime}M^{\prime} \cdot \frac{b}{a}$. Учтем, что $\angle BLM = \angle B^{\prime}LM$; отсюда $\frac{CB}{CL} = \frac{C^{\prime}B^{\prime}}{C^{\prime}L}$ или $\frac{b}{F+a} = \frac{C^{\prime}M}{F - C^{\prime}M} \cdot \frac{b}{a}$. Таким образом, $C^{\prime}M = \frac{aF}{F+2a}$, и $C^{\prime}B^{\prime} = \frac{bF}{F+2a}$.
