Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8389
2018-07-01 
Имея в виду, что фаза волны $\omega t - kx$ есть инвариант, т. е. не меняется при переходе от одной инерциальной системы к другой, определить, как преобразуются входящие в нее частота $\omega$ и волновое число $k$. Рассмотреть одномерный случай.
Решение:
Из инвариантности фазы при преобразованиях Лоренца получаем
$\omega t - kx = \omega^{ \prime}t^{ \prime} - k^{ \prime}x^{ \prime}$
Здесь $\omega = ck$. Начальные координаты относятся к системе отсчета $S^{ \prime}$, который движется вправо со скоростью $v$:
Тогда $x^{ \prime} = \gamma (x - vt)$
$t^{ \prime} = \gamma \left ( t - \frac{vx}{c^{2} } \right )$
где $\gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} } }$
Подставляя и приравнивая коэффициенты при $t$ и $x$
$\omega = \gamma \omega^{ \prime} + \gamma k^{ \prime} v = \omega^{ \prime} \frac{1 + v/c}{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} } }$
$k = \gamma \frac{ \omega^{ \prime}v }{c^{2} } + \gamma k^{ \prime} = k^{ \prime} \frac{1 + v/c}{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} } }$
Имея в виду, что фаза волны $\omega t - kx$ есть инвариант, т. е. не меняется при переходе от одной инерциальной системы к другой, определить, как преобразуются входящие в нее частота $\omega$ и волновое число $k$. Рассмотреть одномерный случай.
Решение:
Из инвариантности фазы при преобразованиях Лоренца получаем
$\omega t - kx = \omega^{ \prime}t^{ \prime} - k^{ \prime}x^{ \prime}$
Здесь $\omega = ck$. Начальные координаты относятся к системе отсчета $S^{ \prime}$, который движется вправо со скоростью $v$:
Тогда $x^{ \prime} = \gamma (x - vt)$
$t^{ \prime} = \gamma \left ( t - \frac{vx}{c^{2} } \right )$
где $\gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} } }$
Подставляя и приравнивая коэффициенты при $t$ и $x$
$\omega = \gamma \omega^{ \prime} + \gamma k^{ \prime} v = \omega^{ \prime} \frac{1 + v/c}{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} } }$
$k = \gamma \frac{ \omega^{ \prime}v }{c^{2} } + \gamma k^{ \prime} = k^{ \prime} \frac{1 + v/c}{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} } }$
