Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 837
2016-09-08 
В простейшей модели нейтронной звезды предполагается, что давление $p$ нейтронного газа, являющегося веществом звезды, является степенной функцией его плотности $\rho$ и практически не зависит от температуры: $p = A \rho^{5/3}$, где $A = 0,54 \cdot 10^{4} Н \cdot м^{3}/кг^{5/3}$. Оцените в данной модели размер нейтронной звезды (радиус $R$ сферы, внутри которой сосредоточена половина массы звезды) с массой порядка массы Солнца $M = 2 \cdot 10^{30} кг$.
Гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-11} Н \cdot м^{2}/кг^{2}$.
Решение:
Рассмотрим сферу радиусом $R$, внутри которой сосредоточена половина массы звезды. На лежащий над поверхностью этой сферы столб нейтронного газа с
малой площадью основания $\Delta S$ и массой $\Delta m = \frac{M/2}{4 \pi R^{2}} \delta S$ действуют уравновешивающие друг друга сила тяжести
$F_{т} = \frac{G(M/2) \Delta m}{R^{2}} = \frac{G(M/2)}{R^{2}} \cdot \frac{M/2}{4 \pi R^{2}} \Delta S$
и сила давления $F_{д} = p \cdot \Delta S = A \rho^{5/3} \cdot \Delta S$. Следовательно,
$\frac{G (M/2)^{2}}{4 \pi R^{4}} = A \rho^{5/3}$.
Плотность нейтронного газа у поверхности сферы радиусом $R$ можно приближённо оценить как среднюю плотность вещества внутри этой сферы: $\rho \approx \frac{M/2}{(4/3) \pi R^{3}}$
Из двух последних уравнений находим:
$R \approx \frac{A}{G(M/2)^{1/3}} \left ( \frac{9 \sqrt{3}}{4 \pi} \right )^{2/3} \approx \frac{A}{G(M/2)^{1/3}} \approx 0,9 \cdot 10^{4} м \approx 10 км.$
Заметим, что средний радиус Солнца составляет $ \sim 7 \cdot 10^{5} км$, то есть нейтронная звезда с массой порядка массы Солнца меньше него по размеру примерно
в 100000 раз!
В простейшей модели нейтронной звезды предполагается, что давление $p$ нейтронного газа, являющегося веществом звезды, является степенной функцией его плотности $\rho$ и практически не зависит от температуры: $p = A \rho^{5/3}$, где $A = 0,54 \cdot 10^{4} Н \cdot м^{3}/кг^{5/3}$. Оцените в данной модели размер нейтронной звезды (радиус $R$ сферы, внутри которой сосредоточена половина массы звезды) с массой порядка массы Солнца $M = 2 \cdot 10^{30} кг$.
Гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-11} Н \cdot м^{2}/кг^{2}$.
Решение:
Рассмотрим сферу радиусом $R$, внутри которой сосредоточена половина массы звезды. На лежащий над поверхностью этой сферы столб нейтронного газа с
малой площадью основания $\Delta S$ и массой $\Delta m = \frac{M/2}{4 \pi R^{2}} \delta S$ действуют уравновешивающие друг друга сила тяжести
$F_{т} = \frac{G(M/2) \Delta m}{R^{2}} = \frac{G(M/2)}{R^{2}} \cdot \frac{M/2}{4 \pi R^{2}} \Delta S$
и сила давления $F_{д} = p \cdot \Delta S = A \rho^{5/3} \cdot \Delta S$. Следовательно,
$\frac{G (M/2)^{2}}{4 \pi R^{4}} = A \rho^{5/3}$.
Плотность нейтронного газа у поверхности сферы радиусом $R$ можно приближённо оценить как среднюю плотность вещества внутри этой сферы: $\rho \approx \frac{M/2}{(4/3) \pi R^{3}}$
Из двух последних уравнений находим:
$R \approx \frac{A}{G(M/2)^{1/3}} \left ( \frac{9 \sqrt{3}}{4 \pi} \right )^{2/3} \approx \frac{A}{G(M/2)^{1/3}} \approx 0,9 \cdot 10^{4} м \approx 10 км.$
Заметим, что средний радиус Солнца составляет $ \sim 7 \cdot 10^{5} км$, то есть нейтронная звезда с массой порядка массы Солнца меньше него по размеру примерно
в 100000 раз!
