Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8366
2018-07-01 
Найти зависимость между групповой $u$ и фазовой $v$ скоростями для следующих законов дисперсии:
а) $v \sim 1/ \sqrt{ \lambda}$;
б) $v \sim k$;
в) $v \sim 1/ \omega^{2}$.
Здесь $\lambda, k$ и $\omega$ — длина волны, волновое число и круговая частота.
Решение:
(a) $v = a/ \sqrt{ \lambda}, a = const$
Тогда $u = v - \lambda \frac{dv}{d \lambda} = \frac{a}{ \sqrt{ \lambda} } - \lambda \left ( - \frac{1}{2}a \lambda^{ - 3/2} \right ) = \frac{3}{2} \frac{a }{ \sqrt{ \lambda}} = \frac{3}{2}v$.
(b) $v = bk = \omega k, b = const$
Тогда $\omega = bk^{2}$ и $u = \frac{d \omega}{dk} = 2bk = 2v$.
(c) $v = \frac{c}{ \omega^{2} }, c = const = \frac{ \omega}{k}$.
Итак $\omega^{3} = ck$ или $\omega = c^{1/3}k^{1/3}$
Таким образом $u = \frac{d \omega}{d k} = c^{1/3} \frac{1}{3} k^{ - 2/3} = \frac{1}{3} \frac{ \omega}{k} = \frac{1}{3} v$
Найти зависимость между групповой $u$ и фазовой $v$ скоростями для следующих законов дисперсии:
а) $v \sim 1/ \sqrt{ \lambda}$;
б) $v \sim k$;
в) $v \sim 1/ \omega^{2}$.
Здесь $\lambda, k$ и $\omega$ — длина волны, волновое число и круговая частота.
Решение:
(a) $v = a/ \sqrt{ \lambda}, a = const$
Тогда $u = v - \lambda \frac{dv}{d \lambda} = \frac{a}{ \sqrt{ \lambda} } - \lambda \left ( - \frac{1}{2}a \lambda^{ - 3/2} \right ) = \frac{3}{2} \frac{a }{ \sqrt{ \lambda}} = \frac{3}{2}v$.
(b) $v = bk = \omega k, b = const$
Тогда $\omega = bk^{2}$ и $u = \frac{d \omega}{dk} = 2bk = 2v$.
(c) $v = \frac{c}{ \omega^{2} }, c = const = \frac{ \omega}{k}$.
Итак $\omega^{3} = ck$ или $\omega = c^{1/3}k^{1/3}$
Таким образом $u = \frac{d \omega}{d k} = c^{1/3} \frac{1}{3} k^{ - 2/3} = \frac{1}{3} \frac{ \omega}{k} = \frac{1}{3} v$
