ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-01   
В ряде случаев диэлектрическая проницаемость вещества оказывается величиной комплексной или отрицательной и показатель преломления — соответственно комплексным ($n^{ \prime} = n + i \xi$ или чисто мнимым ($n^{ \prime} = i \xi$). Написать для этих случаев уравнение плоской волны и выяснить физический смысл таких показателей преломления.


Решение:


Запишем решения волнового уравнения в виде

$A = A_{0}e^{ i ( \omega t - kx) }$

где $k = \frac{2 \pi}{ \lambda}$ и $\lambda$ - длина волны в среде. Если $n^{ \prime} = n + i \xi$, тогда

$k = \frac{2 \pi}{ \lambda_{0} } n^{ \prime}$

($\lambda_{0}$ - длина волны в вакууме), и уравнение

$A = A_{0}e^{ \xi^{x} x } e^{i ( \omega t_{1} - k^{ \prime} x)}$

где $\xi^{ \prime} = \frac{2 \pi}{ \lambda_{0} } \xi$ и $k^{ \prime} = \frac{2 \pi}{ \lambda_{0} }n$. В реальном случае,

$A = A_{0} e^{ \xi^{ \prime} x } \cos ( \omega t - k^{ \prime} x)$

Эта плоская волна, амплитуда которой уменьшается при ее распространении вправо (при условии $\xi^{ \prime} < 0$).

когда $n^{ \prime} = i \xi$, тогда аналогично

$A = A_{0} e^{ \xi^{ \prime} x } \cos \omega t$

(при подстановке $n = 0$ в приведенном выше уравнении).

То есть получаем стоячую волну, амплитуда которой уменьшается при движении вправо (если $\xi^{ \prime} < 0$). Длина волны волны бесконечна ($k^{ \prime} = 0$).

Волны первого типа реализуются внутри металлов, а также внутри диэлектриков при полном отражении (проникновение волны).