Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8362
2018-07-01 
Электрон, на который действует квазиупругая сила $kx$ и «сила трения» $\gamma \dot{x}$, находится в поле электромагнитного излучения. Е-составляющая поля — меняется во времени по закону $E = E_{0} \cos \omega t$. Пренебрегая действием магнитной составляющей поля, найти:
а) уравнение движения электрона;
б) среднюю мощность, поглощаемую электроном; частоту, при которой она будет максимальна, и выражение для максимальной средней мощности.
Решение:
(а) Уравнение электрона может (при указанных условиях) быть записано как
$m \ddot{x} + \gamma \dot{x} + kx = eE_{0} \cos \omega t$
Рассмотрим уравнение
$m \ddot{z} + \gamma \dot{z} + kz = eE_{0}e^{ - i \omega t}$
Его решение
$z = \frac{eE_{0}e^{ - i \omega t} }{- m \omega^{2} - i \gamma \omega + k }$
(мы игнорируем переходные процессы). Запишем
$\beta = \frac{ \gamma}{2m}, \omega_{0}^{2} = \frac{k}{m}$
мы нашли $z = \frac{ \frac{eE_{0} }{m} e^{ - i \omega t} }{ \omega_{0}^{2} - \omega^{2} - 2 i \beta \omega }$
Тогда $x$ = действительная часть z
$= \frac{eE_{0} }{m} \frac{ \cos ( \omega t + \phi) }{ \sqrt{( \omega_{0}^{2} - \omega^{2} )^{2} + 2 \beta^{2} \omega^{2} } } = a \cos ( \omega t + \ phi)$
где $tg \phi = \frac{2 \beta \omega}{ \omega^{2} - \omega_{0}^{2} }$
$\left ( \sin \phi = - \frac{2 \beta \omega}{ \sqrt{ ( \omega - \omega_{0}^{2} )^{2} + 4 \beta^{2} \omega^{2} } } \right )$
(б) Вычислим поглощенную мощность, как
$P = \langle F \dot{x} \rangle = \langle eE_{0} \cos \omega t ( - \omega a \sin ( \omega t + \phi) ) \rangle =
eE_{0} \frac{eE_{0} }{m} \frac{1}{2} \frac{2 \beta \omega}{( \omega_{0}^{2} - \omega^{2} )^{2} + 4 \beta^{2} \omega^{2} } \omega = \left ( \frac{eE_{0} }{m} \right )^{2} \frac{ \beta m \omega^{2} }{( \omega_{0}^{2} - \omega^{2} )^{2} + 4 \beta^{2} \omega^{2} }$
Она очевидна макимальна, когда $\omega_{0} = \omega$ так, что $P$ можно записать как
$P = \left ( \frac{eE_{0} }{m} \right )^{2} \frac{ \beta m}{ \left ( \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \omega} - \omega \right )^{2} + 2 \beta^{2} }$
и $P_{max} = \frac{m}{2 \beta} \left ( \frac{eE_{0} }{m} \right )^{2}$ для $\omega = \omega_{0}$.
$P$ также можно вычислить из $P = \langle \gamma \dot{x} \cdot \dot{x} \rangle = \frac{ \gamma \omega^{2} a^{2} }{2} = \frac{ \beta m \omega^{2}(eE_{0} / m )^{2} }{ ( \omega_{0}^{2} - \omega^{2} )^{2} + 2 \beta^{2} \omega^{2} }$
Электрон, на который действует квазиупругая сила $kx$ и «сила трения» $\gamma \dot{x}$, находится в поле электромагнитного излучения. Е-составляющая поля — меняется во времени по закону $E = E_{0} \cos \omega t$. Пренебрегая действием магнитной составляющей поля, найти:
а) уравнение движения электрона;
б) среднюю мощность, поглощаемую электроном; частоту, при которой она будет максимальна, и выражение для максимальной средней мощности.
Решение:
(а) Уравнение электрона может (при указанных условиях) быть записано как
$m \ddot{x} + \gamma \dot{x} + kx = eE_{0} \cos \omega t$
Рассмотрим уравнение
$m \ddot{z} + \gamma \dot{z} + kz = eE_{0}e^{ - i \omega t}$
Его решение
$z = \frac{eE_{0}e^{ - i \omega t} }{- m \omega^{2} - i \gamma \omega + k }$
(мы игнорируем переходные процессы). Запишем
$\beta = \frac{ \gamma}{2m}, \omega_{0}^{2} = \frac{k}{m}$
мы нашли $z = \frac{ \frac{eE_{0} }{m} e^{ - i \omega t} }{ \omega_{0}^{2} - \omega^{2} - 2 i \beta \omega }$
Тогда $x$ = действительная часть z
$= \frac{eE_{0} }{m} \frac{ \cos ( \omega t + \phi) }{ \sqrt{( \omega_{0}^{2} - \omega^{2} )^{2} + 2 \beta^{2} \omega^{2} } } = a \cos ( \omega t + \ phi)$
где $tg \phi = \frac{2 \beta \omega}{ \omega^{2} - \omega_{0}^{2} }$
$\left ( \sin \phi = - \frac{2 \beta \omega}{ \sqrt{ ( \omega - \omega_{0}^{2} )^{2} + 4 \beta^{2} \omega^{2} } } \right )$
(б) Вычислим поглощенную мощность, как
$P = \langle F \dot{x} \rangle = \langle eE_{0} \cos \omega t ( - \omega a \sin ( \omega t + \phi) ) \rangle =
eE_{0} \frac{eE_{0} }{m} \frac{1}{2} \frac{2 \beta \omega}{( \omega_{0}^{2} - \omega^{2} )^{2} + 4 \beta^{2} \omega^{2} } \omega = \left ( \frac{eE_{0} }{m} \right )^{2} \frac{ \beta m \omega^{2} }{( \omega_{0}^{2} - \omega^{2} )^{2} + 4 \beta^{2} \omega^{2} }$
Она очевидна макимальна, когда $\omega_{0} = \omega$ так, что $P$ можно записать как
$P = \left ( \frac{eE_{0} }{m} \right )^{2} \frac{ \beta m}{ \left ( \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \omega} - \omega \right )^{2} + 2 \beta^{2} }$
и $P_{max} = \frac{m}{2 \beta} \left ( \frac{eE_{0} }{m} \right )^{2}$ для $\omega = \omega_{0}$.
$P$ также можно вычислить из $P = \langle \gamma \dot{x} \cdot \dot{x} \rangle = \frac{ \gamma \omega^{2} a^{2} }{2} = \frac{ \beta m \omega^{2}(eE_{0} / m )^{2} }{ ( \omega_{0}^{2} - \omega^{2} )^{2} + 2 \beta^{2} \omega^{2} }$
