Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 835
2016-09-08 
При игре в волейбол игрок отбил мяч у самой земли. На первом рисунке показана проекция траектории мяча на вертикальную плоскость сетки. Касательная к этой проекции образует угол $\alpha = 30^{ \circ}$ с верхней линией сетки в точке пересечения с ней.
На втором рисунке показан вид сверху: игрок в момент удара находился на расстоянии $a = 3,5 м$ от сетки, а плоскость траектории образует с сеткой угол $\phi = 60^{ \circ}$. Известно, что скорость мяча сразу после удара была направлена под углом $\theta = arctg 1,2$ к горизонту. На какой высоте над землёй траектория мяча пересекает плоскость сетки? Высота сетки $h = 2,4 м$. Мяч считать материальной точкой, сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Введём систему координат, направив горизонтальную ось $x$ в сторону сетки перпендикулярно ей, ось $y$ - вдоль пересечения плоскости сетки с поверхностью Земли, ось $z$ - вертикально вверх. Начало координат выберем на поверхности Земли в точке удара по мячу. Обозначим через g ускорение свободного падения.
Найдём горизонтальную проекцию скорости мяча $v_{г}$. Для этого заметим, что проекция скорости мяча на вертикальную ось $z$ у поверхности Земли равна $v_{г} \cdot tg \theta$, а на высоте $h$ она, в соответствии с законом сохранения механической энергии, равна $v_{в} = \sqrt{ (v_{г} \cdot tg \theta)^{2} - 2gh }$. Угол $\alpha$ связан с указанными проекциями скорости соотношением: $tg \alpha = \frac{ v_{в}}{ v_{г} \cos \phi}$.
Отсюда
$(v_{г} \cdot \phi \cdot tg \alpha )^{2} = (v_{г} \cdot tg \theta)^{2} - 2gh$, и $v_{г} = \sqrt{ \frac{2gh}{ (tg \theta)^{2} - ( \cos \phi \cdot tg \alpha)^{2}}}$.
Для того, чтобы ответить на вопрос задачи, заметим, что мяч пересекает плоскость сетки через промежуток времени $t = \frac{a}{ v_{г} \sin \phi}$.
В этот момент времени координата $z$ мяча равна
$z = v_{г} tg \theta \cdot t - \frac{gt^{2}}{2} = \frac{a \cdot tg \theta}{ \sin \phi} - \frac{ ga^{2}}{ 2 (v_{г} \sin \phi)^{2}} =\frac{a \cdot tg \theta}{ \sin \phi} - \frac{ a^{2} ( tg^{2} \theta - tg^{2} \alpha \cdot \cos^{2} \phi)}{ 4h \sin^{2} \phi} \approx 2,54 м$
При игре в волейбол игрок отбил мяч у самой земли. На первом рисунке показана проекция траектории мяча на вертикальную плоскость сетки. Касательная к этой проекции образует угол $\alpha = 30^{ \circ}$ с верхней линией сетки в точке пересечения с ней.
На втором рисунке показан вид сверху: игрок в момент удара находился на расстоянии $a = 3,5 м$ от сетки, а плоскость траектории образует с сеткой угол $\phi = 60^{ \circ}$. Известно, что скорость мяча сразу после удара была направлена под углом $\theta = arctg 1,2$ к горизонту. На какой высоте над землёй траектория мяча пересекает плоскость сетки? Высота сетки $h = 2,4 м$. Мяч считать материальной точкой, сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Введём систему координат, направив горизонтальную ось $x$ в сторону сетки перпендикулярно ей, ось $y$ - вдоль пересечения плоскости сетки с поверхностью Земли, ось $z$ - вертикально вверх. Начало координат выберем на поверхности Земли в точке удара по мячу. Обозначим через g ускорение свободного падения.
Найдём горизонтальную проекцию скорости мяча $v_{г}$. Для этого заметим, что проекция скорости мяча на вертикальную ось $z$ у поверхности Земли равна $v_{г} \cdot tg \theta$, а на высоте $h$ она, в соответствии с законом сохранения механической энергии, равна $v_{в} = \sqrt{ (v_{г} \cdot tg \theta)^{2} - 2gh }$. Угол $\alpha$ связан с указанными проекциями скорости соотношением: $tg \alpha = \frac{ v_{в}}{ v_{г} \cos \phi}$.
Отсюда
$(v_{г} \cdot \phi \cdot tg \alpha )^{2} = (v_{г} \cdot tg \theta)^{2} - 2gh$, и $v_{г} = \sqrt{ \frac{2gh}{ (tg \theta)^{2} - ( \cos \phi \cdot tg \alpha)^{2}}}$.
Для того, чтобы ответить на вопрос задачи, заметим, что мяч пересекает плоскость сетки через промежуток времени $t = \frac{a}{ v_{г} \sin \phi}$.
В этот момент времени координата $z$ мяча равна
$z = v_{г} tg \theta \cdot t - \frac{gt^{2}}{2} = \frac{a \cdot tg \theta}{ \sin \phi} - \frac{ ga^{2}}{ 2 (v_{г} \sin \phi)^{2}} =\frac{a \cdot tg \theta}{ \sin \phi} - \frac{ a^{2} ( tg^{2} \theta - tg^{2} \alpha \cdot \cos^{2} \phi)}{ 4h \sin^{2} \phi} \approx 2,54 м$
