Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 833
2016-09-04 
Пилот гоночного автомобиля, движущегося со скоростью $v_{0}$, увидел впереди длинную стену поперёк дороги. Чтобы избежать столкновения, он может или резко затормозить, или просто свернуть в сторону, или свернуть в сторону, одновременно тормозя задними колёсами. Какой из этих способов эффективнее, то есть позволит избежать столкновения с наиболее близко расположенной преградой? Коэффициент трения колёс дорогу равен $\mu$ .
Решение:
Пусть масса автомобиля равна $m$. Рассмотрим вначале простейший способ избежать столкновения - просто резко затормозить. Для нахождения тормозного пути применим закон изменения энергии:
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \mu mgL$.
Отсюда находим тормозной путь
$L= \frac{v_{0}^{2}}{2 \mu g}$. (1)
Второй способ избежать столкновения - заставить автомобиль поворачивать с возможно меньшим радиусом кривизны $R$, который и представляет собой минимальное расстояние до препятствия. Поскольку центр масс гоночного автомобиля расположен низко, то опасностью его опрокидывания можно пренебречь. Размерами автомобиля также можно пренебречь по сравнению с расстоянием до препятствия. Тогда к автомобилю можно применить второй закон Ньютона:
$\frac{m v_{0}^{2}}{R} = \mu mg$, откуда $R = \frac{v_{0}^{2}}{ \mu g}$, (2)
Этот способ избежать столкновения в два раза менее эффективен по сравнению с первым.
Проанализируем третий способ. Поворот автомобиля обеспечивают силы трения покоя, действующие перпендикулярно скорости. Поскольку центр масс гоночного автомобиля расположен достаточно низко, можно считать, что вес автомобиля поровну распределяется между передними и задними колёсами. Силы трения покоя будем полагать почти равными их предельным значениям. Тогда сумма сил трения покоя, действующих на передние колёса, которая перпендикулярна скорости автомобиля, равна $F = \mu mg /2$. Суммарная сила трения $\vec{F}$, действующая на задние колёса, тоже близка к предельному значению. Угол, который она образует с направлением скорости $\vec{v}$, можно менять посредством тормоза и руля. Приближение к стенке будет самым медленным, если предельная сила трения $\vec{F}$, действующая на задние колёса, направлена перпендикулярно стенке. Далее рассматривается именно этот наиболее благоприятный вариант.
Силу $\vec{F}$ целесообразно разложить на две составляющие: $\vec{F} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2}$. Составляющая $\vec{F}_{1}$ направлена навстречу скорости $\vec{v}$, а $\vec{F}_{2}$ - перпендикулярно к ней. Модуль $F_{1} = F \cos \alpha$, а $F_{2} = F \sin \alpha$, где $\alpha$ - угол между скоростью $\vec{v}$ и первоначальной скоростью $\vec{v}_{0}$, направленной перпендикулярно стене. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на касательное и нормальное направления:
$m \dot{v} = -F_{1} = -F \cos \alpha$, (3)
$\frac{mv^{2}}{R} = F_{2} + F = F (1 + \cos \alpha)$. (4)
Точка над символом здесь и далее обозначает производную по времени. $R$ - локальный радиус поворота, удовлетворяющий соотношению
$v = \dot{ \alpha} R$. (5)
Из (4) и (5) следует
$mv = F \frac{ (1 + \sin \alpha) }{ \dot{ \alpha}}$. (6)
Сравнивая (6) и (3), получим:
$\frac{d}{dt} \left ( \frac{ 1 + \sin \alpha}{ \dot{ \alpha}} \right ) = - \cos \alpha$.
Преобразуем это уравнение следующим образом:
$\dot{ \alpha} \frac{d}{d \alpha} \left ( \frac{1 + \sin \alpha}{ \dot{ \dot{ \alpha}}} \right ) = - \frac{d( \sin \alpha)}{d \alpha}$,
$ \frac{d}{d \alpha} \left ( \dot{ \alpha} \frac{1 + \sin \alpha}{ \dot{ \alpha}} \right ) - \frac{ 1 + \sin \alpha }{ \dot{ \alpha}} \frac{d \dot{ \alpha}}{d \alpha} = - \frac{d ( \sin \alpha)}{d \alpha}$,
$ \frac{d \dot{ \alpha}}{ \dot{ \alpha}_{0}} = \frac{2d ( \sin \alpha)}{1 +\sin \alpha}$.
Решаем это уравнение при начальном условии $\alpha = \alpha_{0} =0; \dot{ \alpha} = \dot{ \alpha}_{0}$, где, в соответствии с (5), a $\dot{ \alpha}_{0} = v_{0}/R_{0}, R_{0}$ - начальный радиус поворота, который находим по формуле (4): $R_{0} = mv_{0}^{2}/F$. Интегрируя, получим
$ln \frac{ \dot{ \alpha}}{ \dot{ \alpha}_{0}} = 2 ln \left ( \frac{1 + \sin \alpha}{ 1 + \sin \alpha_{0}} \right )$ , или $ \dot{ \alpha} = \frac{v}{R} = \frac{v_{0}}{R_{0}} (1 + \sin \alpha)^{2}$.
При учёте (4) отсюда находим
$v= \frac{v_{0}}{ 1 + \sin \alpha }$. (8)
В ближайшей к стене точке траектории $\alpha = \pi /2$, и (8) даёт величину скорости $v_{f}$ в этой точке:
$v_{f} = \frac{v_{0}}{2}$. (9)
На какое расстояние $S$ автомобиль приблизится к стене? Это расстояние можно подсчитать так:
$S = \int v \cos \alpha dt$,
где $v \cos \alpha$ - перпендикулярная к стене составляющая скорости. Выразим косинус из (3) и, используя (9), получим:
$S = - \int v \cdot \dot{v} \frac{m}{F} dt = - \frac{m}{F} \int_{v_{0}}^{v_{f}} vdv = - \frac{m}{2F} (v_{f}^{2} – v_{0}^{2}) = \frac{3}{4} \frac{v_{0}^{2}}{ \mu g}$.
Сравнивая полученный результат с (1) и (2), видим, что при повороте эффективнее тормозить, но лучше всего сразу нажать на тормоза.
Пилот гоночного автомобиля, движущегося со скоростью $v_{0}$, увидел впереди длинную стену поперёк дороги. Чтобы избежать столкновения, он может или резко затормозить, или просто свернуть в сторону, или свернуть в сторону, одновременно тормозя задними колёсами. Какой из этих способов эффективнее, то есть позволит избежать столкновения с наиболее близко расположенной преградой? Коэффициент трения колёс дорогу равен $\mu$ .
Решение:
Пусть масса автомобиля равна $m$. Рассмотрим вначале простейший способ избежать столкновения - просто резко затормозить. Для нахождения тормозного пути применим закон изменения энергии:
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \mu mgL$.
Отсюда находим тормозной путь
$L= \frac{v_{0}^{2}}{2 \mu g}$. (1)
Второй способ избежать столкновения - заставить автомобиль поворачивать с возможно меньшим радиусом кривизны $R$, который и представляет собой минимальное расстояние до препятствия. Поскольку центр масс гоночного автомобиля расположен низко, то опасностью его опрокидывания можно пренебречь. Размерами автомобиля также можно пренебречь по сравнению с расстоянием до препятствия. Тогда к автомобилю можно применить второй закон Ньютона:
$\frac{m v_{0}^{2}}{R} = \mu mg$, откуда $R = \frac{v_{0}^{2}}{ \mu g}$, (2)
Этот способ избежать столкновения в два раза менее эффективен по сравнению с первым.
Проанализируем третий способ. Поворот автомобиля обеспечивают силы трения покоя, действующие перпендикулярно скорости. Поскольку центр масс гоночного автомобиля расположен достаточно низко, можно считать, что вес автомобиля поровну распределяется между передними и задними колёсами. Силы трения покоя будем полагать почти равными их предельным значениям. Тогда сумма сил трения покоя, действующих на передние колёса, которая перпендикулярна скорости автомобиля, равна $F = \mu mg /2$. Суммарная сила трения $\vec{F}$, действующая на задние колёса, тоже близка к предельному значению. Угол, который она образует с направлением скорости $\vec{v}$, можно менять посредством тормоза и руля. Приближение к стенке будет самым медленным, если предельная сила трения $\vec{F}$, действующая на задние колёса, направлена перпендикулярно стенке. Далее рассматривается именно этот наиболее благоприятный вариант.
Силу $\vec{F}$ целесообразно разложить на две составляющие: $\vec{F} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2}$. Составляющая $\vec{F}_{1}$ направлена навстречу скорости $\vec{v}$, а $\vec{F}_{2}$ - перпендикулярно к ней. Модуль $F_{1} = F \cos \alpha$, а $F_{2} = F \sin \alpha$, где $\alpha$ - угол между скоростью $\vec{v}$ и первоначальной скоростью $\vec{v}_{0}$, направленной перпендикулярно стене. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на касательное и нормальное направления:
$m \dot{v} = -F_{1} = -F \cos \alpha$, (3)
$\frac{mv^{2}}{R} = F_{2} + F = F (1 + \cos \alpha)$. (4)
Точка над символом здесь и далее обозначает производную по времени. $R$ - локальный радиус поворота, удовлетворяющий соотношению
$v = \dot{ \alpha} R$. (5)
Из (4) и (5) следует
$mv = F \frac{ (1 + \sin \alpha) }{ \dot{ \alpha}}$. (6)
Сравнивая (6) и (3), получим:
$\frac{d}{dt} \left ( \frac{ 1 + \sin \alpha}{ \dot{ \alpha}} \right ) = - \cos \alpha$.
Преобразуем это уравнение следующим образом:
$\dot{ \alpha} \frac{d}{d \alpha} \left ( \frac{1 + \sin \alpha}{ \dot{ \dot{ \alpha}}} \right ) = - \frac{d( \sin \alpha)}{d \alpha}$,
$ \frac{d}{d \alpha} \left ( \dot{ \alpha} \frac{1 + \sin \alpha}{ \dot{ \alpha}} \right ) - \frac{ 1 + \sin \alpha }{ \dot{ \alpha}} \frac{d \dot{ \alpha}}{d \alpha} = - \frac{d ( \sin \alpha)}{d \alpha}$,
$ \frac{d \dot{ \alpha}}{ \dot{ \alpha}_{0}} = \frac{2d ( \sin \alpha)}{1 +\sin \alpha}$.
Решаем это уравнение при начальном условии $\alpha = \alpha_{0} =0; \dot{ \alpha} = \dot{ \alpha}_{0}$, где, в соответствии с (5), a $\dot{ \alpha}_{0} = v_{0}/R_{0}, R_{0}$ - начальный радиус поворота, который находим по формуле (4): $R_{0} = mv_{0}^{2}/F$. Интегрируя, получим
$ln \frac{ \dot{ \alpha}}{ \dot{ \alpha}_{0}} = 2 ln \left ( \frac{1 + \sin \alpha}{ 1 + \sin \alpha_{0}} \right )$ , или $ \dot{ \alpha} = \frac{v}{R} = \frac{v_{0}}{R_{0}} (1 + \sin \alpha)^{2}$.
При учёте (4) отсюда находим
$v= \frac{v_{0}}{ 1 + \sin \alpha }$. (8)
В ближайшей к стене точке траектории $\alpha = \pi /2$, и (8) даёт величину скорости $v_{f}$ в этой точке:
$v_{f} = \frac{v_{0}}{2}$. (9)
На какое расстояние $S$ автомобиль приблизится к стене? Это расстояние можно подсчитать так:
$S = \int v \cos \alpha dt$,
где $v \cos \alpha$ - перпендикулярная к стене составляющая скорости. Выразим косинус из (3) и, используя (9), получим:
$S = - \int v \cdot \dot{v} \frac{m}{F} dt = - \frac{m}{F} \int_{v_{0}}^{v_{f}} vdv = - \frac{m}{2F} (v_{f}^{2} – v_{0}^{2}) = \frac{3}{4} \frac{v_{0}^{2}}{ \mu g}$.
Сравнивая полученный результат с (1) и (2), видим, что при повороте эффективнее тормозить, но лучше всего сразу нажать на тормоза.
