2016-09-04
Бочку с песком равномерно катят вдоль горизонтальной прямой, наклонив на угол $\alpha$ к горизонту. Радиус дна бочки равен $R$. В дне на расстоянии $r$от его центра имеется отверстие, через которое песок равномерно высыпается. Получите уравнение, описывающее след, оставляемый высыпающимся песком. Нарисуйте этот след за один оборот. Укажите координаты его характерных точек, в том числе координаты центра масс.
Решение:
рис. 1
рис. 2
рис. 3
Пусть бочку катят вдоль координатной оси $x$, направленной перпендикулярно плоскости рисунка 1. Координата $y$ точки следа находится под отверстием, положение которого в плоскости дна характеризуется координатой $y_{1}$. Из рисунка 1 видно, что $y = ky_{1}$, где $k = \sin \alpha$. Таким образом, след представляет собой проекцию траектории отверстия в плоскости дна на горизонтальную плоскость. Найдём вначале уравнение траектории движения отверстия в плоскости дна. На рисунке 2 изображено начальное положение отверстия $A$ и его положение $A^{ \prime}$ после поворота на угол $\phi$. Выразим через этот угол координаты $x$ и $y_{1}$ отверстия:
$x = \phi R – r \sin \phi = R \left ( \phi - \frac{r}{R} \sin \phi \right )$, (1)
$y_{1} = R – r \cos \phi = R \left ( 1 - \frac{r}{R} \cos \phi \right )$. (2)
Уравнения (1) и (2) задают траекторию в параметрическом виде. Для траектории песочного следа вместо $y_{1}$ нужно брать $y = ky_{1}$. Можно приблизительно нарисовать оставляемый песком след, выявив характерные точки по уравнениям (1) и (2). На рисунке 3 представлены построенные с помощью системы MathCad графики параметрически заданной функции $y = y(x)$ при $r = R$ (сплошная кривая) и при $r = R/2$ (пунктирная кривая). Первая кривая называется циклоидой, вторая - укороченная циклоида.
Для определения положения центра масс следа воспользуемся формулами для его координат:
$x_{c} = \frac{1}{M} \int x dm; y_{c} = \frac{1}{M} \int y dm$. (3)
В данном случае $dm \rho d \phi$, где $\rho$ - масса песка, высыпающегося за время поворота на единичный угол. При равномерном качении бочки эта величина постоянная, а $M = 2 \pi \rho$ - масса песка, высыпающегося за один оборот. Подставляем координаты $x$ и $y$, найденные с помощью формул (1) и (2), в (3) и интегрируем:
$x_{c} = \frac{1}{2 \pi \rho} \int_{0}^{2 \pi} R \rho \left ( \phi - \frac{r}{R} \sin \phi \right ) d \phi = \pi R$.
$y_{c} = \frac{k}{2 \pi \rho} \int_{0}^{2 \pi} R \rho \left ( 1 - \frac{r}{R} \cos \phi \right ) d \phi = R \sin \alpha$.
Итак, положение центра масс песочного следа определяется координатами $x_{c} = \pi R$ и $y_{c} = R \sin \alpha$. Это положение отмечено точкой $O$ на рисунке 3. Оно является проекцией центра дна на горизонтальную плоскость и не зависит от $r$