Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 831
2016-09-04 
По гладкой горизонтальной поверхности скользит маленькая круглая шайба, не покидая правильного треугольника, ограниченного неподвижными гладкими стенками (рис.). Удары шайбы о стенки абсолютно упругие, при попадании в угол шайба останавливается. В начальный момент шайба находится в точке $A$ посередине стороны треугольника и имеет скорость, направленную под углом $\alpha$ к этой стороне, $0 < \alpha < \pi /2$. Найдите все значения $\alpha$, при которых шайба попадёт в угол $B$, совершив не более 6 столкновений со стенками.
Решение:
рис. 1
рис. 2
рис. 3
Шайба испытывает упругие столкновения со стенками. При этом остаётся неизменным модуль её скорости, и «угол падения» оказывается равным «углу отражения». Это следует из законов изменения энергии и импульса. Рисунок 1 изображает процесс столкновения. Скорость шайбы изменяется от значения $\vec{v}_{1}$ до значения $\vec{v}_{2}, v_{1} = v_{2} = v$. Из рисунка видно, что зеркальное отражение траектории шайбы после столкновения представляет собой продолжение начального участка траектории. Вместо ломанной линии 1 можно рассматривать прямую 2 (рис. 2). На рисунке 2 показаны также последовательные зеркальные отражения $a$ и $b$ стен $\omega_{2}$ и $\omega_{1}$. Применим способ спрямления траектории к данной задаче. Для этого нарисуем множество зеркальных отражений заданного треугольника относительно его сторон (рис. 3). Вершина $B$ и её зеркальные отражения обозначены на рисунке 3 жирными точками. Прямые, соединяющие эти точки с точкой $A$, представляют собой «спрямлённые» траектории шайбы, попадающей в вершину $B$ треугольника, образованного стенками. Отрезок $AB_{1}$ соответствует траектории, при которой шайба попадает в вершину $B$, столкнувшись со стенками 6 раз. Для этого случая искомый угол находится из прямоугольного треугольника с гипотенузой $AB_{1}$.
$tg \alpha_{1} = \frac{ \sqrt{3}}{6}$, следовательно, $\alpha_{1} \approx 16^{ \circ}$.
Аналогичным образом можно найти и иные возможные углы, для чего приходится соединять точку $A$ с точками $B_{2}, B_{3}$ и $B_{4}$. Направления на иные жирные точки, отличные от указанных, соответствуют большим числам столкновений, чем требуется в задаче. Прямая $AB_{2}$ проходит через точку $C$, соответствующую попаданию шайбы в вершину треугольника, отличную от $B$. В этой вершине шайба остановится в соответствии с условием задачи, так что направление прямой $AB_{2}$ следует исключить. Итак, помимо $\alpha_{1}$ есть ещё два возможных направления:
$tg \alpha_{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, tg \alpha_{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$,
следовательно
$\alpha_{3} \approx 49^{ \circ}, \alpha_{4} \approx 67^{ \circ}$.
По гладкой горизонтальной поверхности скользит маленькая круглая шайба, не покидая правильного треугольника, ограниченного неподвижными гладкими стенками (рис.). Удары шайбы о стенки абсолютно упругие, при попадании в угол шайба останавливается. В начальный момент шайба находится в точке $A$ посередине стороны треугольника и имеет скорость, направленную под углом $\alpha$ к этой стороне, $0 < \alpha < \pi /2$. Найдите все значения $\alpha$, при которых шайба попадёт в угол $B$, совершив не более 6 столкновений со стенками.
Решение:
рис. 1
рис. 2
рис. 3
Шайба испытывает упругие столкновения со стенками. При этом остаётся неизменным модуль её скорости, и «угол падения» оказывается равным «углу отражения». Это следует из законов изменения энергии и импульса. Рисунок 1 изображает процесс столкновения. Скорость шайбы изменяется от значения $\vec{v}_{1}$ до значения $\vec{v}_{2}, v_{1} = v_{2} = v$. Из рисунка видно, что зеркальное отражение траектории шайбы после столкновения представляет собой продолжение начального участка траектории. Вместо ломанной линии 1 можно рассматривать прямую 2 (рис. 2). На рисунке 2 показаны также последовательные зеркальные отражения $a$ и $b$ стен $\omega_{2}$ и $\omega_{1}$. Применим способ спрямления траектории к данной задаче. Для этого нарисуем множество зеркальных отражений заданного треугольника относительно его сторон (рис. 3). Вершина $B$ и её зеркальные отражения обозначены на рисунке 3 жирными точками. Прямые, соединяющие эти точки с точкой $A$, представляют собой «спрямлённые» траектории шайбы, попадающей в вершину $B$ треугольника, образованного стенками. Отрезок $AB_{1}$ соответствует траектории, при которой шайба попадает в вершину $B$, столкнувшись со стенками 6 раз. Для этого случая искомый угол находится из прямоугольного треугольника с гипотенузой $AB_{1}$.
$tg \alpha_{1} = \frac{ \sqrt{3}}{6}$, следовательно, $\alpha_{1} \approx 16^{ \circ}$.
Аналогичным образом можно найти и иные возможные углы, для чего приходится соединять точку $A$ с точками $B_{2}, B_{3}$ и $B_{4}$. Направления на иные жирные точки, отличные от указанных, соответствуют большим числам столкновений, чем требуется в задаче. Прямая $AB_{2}$ проходит через точку $C$, соответствующую попаданию шайбы в вершину треугольника, отличную от $B$. В этой вершине шайба остановится в соответствии с условием задачи, так что направление прямой $AB_{2}$ следует исключить. Итак, помимо $\alpha_{1}$ есть ещё два возможных направления:
$tg \alpha_{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, tg \alpha_{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$,
следовательно
$\alpha_{3} \approx 49^{ \circ}, \alpha_{4} \approx 67^{ \circ}$.
