Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 830
2016-09-04 
На планете «Туй» растёт дерево «Маа», семенами которого питается животное «Да». Особенность дерева «Маа» состоит в том, что при созревании его плоды лопаются и выбрасывают семена по всем направлениям со скоростью $v_{0}$. Животное в процессе эволюции выработало следующий способ добывания пищи: оно сидит на расстоянии $L$ от дерева, и, дождавшись, когда плод, находящийся на высоте $H$, лопнет, в тот же момент выбрасывает со скоростью $v$ язык, который состоит из тонкой лёгкой нити и находящегося на её конце тяжёлого шарика. Из шарика в определённый момент во все стороны выбрасываются липкие щупальца, которые мгновенно ловят все семена, находящиеся от центра шарика на расстоянии меньшем длины щупальца. Найдите минимальную длину щупалец, достаточную для того, чтобы животное захватывало все семена. Под каким углом к горизонту должно животное выбрасывать язык и какое устанавливать время задержки между выбрасыванием языка и распусканием щупалец, чтобы достаточная длина щупальцев была минимальной? Считать, что во время полёта шарика нить на него не действует. Ускорение свободного падения на поверхности планеты «Туй» равно $g$. Полёту семян не препятствуют ни сопротивление атмосферы, ни ветви дерева.
Решение:
Поскольку и семена, и шарик языка движутся относительно планеты «Туй» с постоянным ускорением $\vec{g}$ целесообразно перейти в систему отсчёта, которая тоже движется с тем же ускорением относительно планеты. В этой системе отсчёта и семена, и шарик языка движутся равномерно и прямолинейно (рис.). Спустя время $t$ от начала движения семена окажутся в точках, удалённых от места разрыва плода «Маа» на расстояние $v_{0}t$. За это же время шарик языка «Да» должен оказаться в центре изображённой на рисунке сферы радиуса $l = v_{0}t$, а мгновенно выпущенные щупальцы минимальной длины $l$ «слижут» все семена на поверхности этой сферы. Цель будет достигнута, если путь, пройденный шариком языка за это время $t$ окажется равным гипотенузе изображённого на рисунке треугольника. Отсюда находим
$t = \frac{ \sqrt{ L^{2} + H^{2}}}{v}$.
Минимальная длина щупалец должна быть равна
$l = v_{0}t = \frac{v_{0}}{v} \sqrt{ L^{2} + H^{2}}$,
а угол, который составляет скорость шарика языка $\vec{v}$ с горизонтом в момент выбрасывания,
$\alpha = arctg \left ( \frac{H}{L} \right )$.
Нельзя ли животному «Да» обойтись более короткими щупальцами, если выпускать их раньше, чем шарик языка достигнет точки разрыва плода «Маа»? Пусть шарик раскрывается в момент времени $(t - \Delta t)$, где $|Delta t$ - время упреждения. Тогда, чтобы достать в этот момент самые далёкие семена, нужны щупальцы длиной
$l_{1} = v \Delta t + v_{0} (t - \Delta t) = v_{0}t + (v – v_{0}) \Delta t$. (1)
Если $v > v_{0}$, то минимальное значение $l_{1} = l$. Именно этот случай и рассмотрен выше. Если же семена разлетаются быстрее, чем выбрасывается язык $(v < v_{0})$, то минимальная величина $l_{1}$ будет, как видно из (1), при $t = \Delta t$. Тогда
$l_{1} =vt = \sqrt{H^{2} + L^{2}}$
Таким образом, «Да» должен по внешнему виду плода определить, быстро или медленно будут разлетаться семена, и решить, выпускать ли щупальца сразу в момент разрыва или же вначале выстрелить шарик языка в разрывающийся плод. А читатель должен обратить внимание на то, что при решении задач с абстрактным содержанием (в которых не заданы численные значения) следует анализировать все возможные варианты.
На планете «Туй» растёт дерево «Маа», семенами которого питается животное «Да». Особенность дерева «Маа» состоит в том, что при созревании его плоды лопаются и выбрасывают семена по всем направлениям со скоростью $v_{0}$. Животное в процессе эволюции выработало следующий способ добывания пищи: оно сидит на расстоянии $L$ от дерева, и, дождавшись, когда плод, находящийся на высоте $H$, лопнет, в тот же момент выбрасывает со скоростью $v$ язык, который состоит из тонкой лёгкой нити и находящегося на её конце тяжёлого шарика. Из шарика в определённый момент во все стороны выбрасываются липкие щупальца, которые мгновенно ловят все семена, находящиеся от центра шарика на расстоянии меньшем длины щупальца. Найдите минимальную длину щупалец, достаточную для того, чтобы животное захватывало все семена. Под каким углом к горизонту должно животное выбрасывать язык и какое устанавливать время задержки между выбрасыванием языка и распусканием щупалец, чтобы достаточная длина щупальцев была минимальной? Считать, что во время полёта шарика нить на него не действует. Ускорение свободного падения на поверхности планеты «Туй» равно $g$. Полёту семян не препятствуют ни сопротивление атмосферы, ни ветви дерева.
Решение:
Поскольку и семена, и шарик языка движутся относительно планеты «Туй» с постоянным ускорением $\vec{g}$ целесообразно перейти в систему отсчёта, которая тоже движется с тем же ускорением относительно планеты. В этой системе отсчёта и семена, и шарик языка движутся равномерно и прямолинейно (рис.). Спустя время $t$ от начала движения семена окажутся в точках, удалённых от места разрыва плода «Маа» на расстояние $v_{0}t$. За это же время шарик языка «Да» должен оказаться в центре изображённой на рисунке сферы радиуса $l = v_{0}t$, а мгновенно выпущенные щупальцы минимальной длины $l$ «слижут» все семена на поверхности этой сферы. Цель будет достигнута, если путь, пройденный шариком языка за это время $t$ окажется равным гипотенузе изображённого на рисунке треугольника. Отсюда находим
$t = \frac{ \sqrt{ L^{2} + H^{2}}}{v}$.
Минимальная длина щупалец должна быть равна
$l = v_{0}t = \frac{v_{0}}{v} \sqrt{ L^{2} + H^{2}}$,
а угол, который составляет скорость шарика языка $\vec{v}$ с горизонтом в момент выбрасывания,
$\alpha = arctg \left ( \frac{H}{L} \right )$.
Нельзя ли животному «Да» обойтись более короткими щупальцами, если выпускать их раньше, чем шарик языка достигнет точки разрыва плода «Маа»? Пусть шарик раскрывается в момент времени $(t - \Delta t)$, где $|Delta t$ - время упреждения. Тогда, чтобы достать в этот момент самые далёкие семена, нужны щупальцы длиной
$l_{1} = v \Delta t + v_{0} (t - \Delta t) = v_{0}t + (v – v_{0}) \Delta t$. (1)
Если $v > v_{0}$, то минимальное значение $l_{1} = l$. Именно этот случай и рассмотрен выше. Если же семена разлетаются быстрее, чем выбрасывается язык $(v < v_{0})$, то минимальная величина $l_{1}$ будет, как видно из (1), при $t = \Delta t$. Тогда
$l_{1} =vt = \sqrt{H^{2} + L^{2}}$
Таким образом, «Да» должен по внешнему виду плода определить, быстро или медленно будут разлетаться семена, и решить, выпускать ли щупальца сразу в момент разрыва или же вначале выстрелить шарик языка в разрывающийся плод. А читатель должен обратить внимание на то, что при решении задач с абстрактным содержанием (в которых не заданы численные значения) следует анализировать все возможные варианты.
