ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-01   
Прозрачная дифракционная решетка имеет период $d = 1,50 мкм$. Найти угловую дисперсию $D$ (в угл. мин/нм), соответствующую максимуму наибольшего порядка спектральной линии с $\lambda = 530 нм$, если свет падает на решетку
а) нормально; б) под углом $\theta_{0} = 45^{ \circ}$ к нормали.


Решение:


(а) При нормальном падении максимумы даются выражением

$d \sin \theta = n \lambda$

Итак $\sin \theta = n \frac{ \lambda}{d} = n \frac{0,530}{1,5}$

Ясно, что $n \leq 2$ при $\sin \theta > 1$ для $n = 3$.

Таким образом, высший порядок равен $n = 2$. Тогда

$D = \frac{d \theta}{d \lambda} = \frac{k}{d \cos \theta} = \frac{k}{d} \frac{1}{ \sqrt{1 - \left ( \frac{k \lambda}{d} \right )^{2} } }$

Подставив $k = 2, \lambda = 0,53 мкм, d = 1,5 мкм = 1500 нм$

мы получаем $D = \frac{2}{1500} \frac{1}{ \sqrt{1 - \left ( \frac{1,06}{1,5} \right )^{2} } } \frac{180}{ \pi} 60 = 6,47 угл. мин/ нм$.

(б) Запишем формулу дифракции как

$d ( \sin \theta_{0} + \sin \theta) = k \lambda$

Тогда $\sin \theta_{0} + \sin \theta = k \frac{ \lambda}{d}$

$\theta_{0} = 45^{ \circ}$ и $\sin \theta_{0} = 0,707$

Здесь $\sin \theta_{0} + \sin \theta \leq 1,707$. Поскольку

$\frac{ \lambda}{d} = \frac{0,53}{1,5} = 0,353333$, мы видим, что

$k \leq 4$

Таким образом, наибольший порядок соответствует $k = 4$.

Теперь, как и раньше, $D = \frac{d \theta}{d \lambda}$

$D = \frac{k}{ d \cos \theta} = \frac{k/d}{ \sqrt{ 1 - \left ( \frac{k \lambda}{d} - \sin \theta_{0} \right )^{2} }} = 12,948 угл. мин / нм$,