Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 829
2016-09-04 
Из точки, расположенной на высоте $H = 5 м$ над краем обрыва, под углом $\alpha$ к горизонту в сторону обрыва бросили со скоростью $v_{0} = 10,0 м/с$ камень.
С какой минимальной скоростью $v$, и под каким углом $\beta$ к горизонту следует в тот же момент бросить с поверхности земли камень вдогонку первому из точки, удалённой от края обрыва на расстояние $L =10 м$, чтобы камни столкнулись? Рассмотреть случаи $\alpha = 0^{ \circ}$ и $\alpha = 60^{ \circ}$.
Решение:
Если пренебречь сопротивлением воздуха, то можно считать, что оба камня движутся с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения $\vec{g}$. Для описания их движения введём декартову систему координат так, как показано на рисунке. Если через промежуток времени $t$ камни столкнутся, то можно приравнять их координаты:
$vt \cos \beta = L + v_{0} t \cos \alpha$, (1)
$vt \sin \beta - \frac{gt^{2}}{2} = H + v_{0} t \sin \alpha - \frac{gt^{2}}{2}$. (2)
Из этих уравнений найдём:
$v = v_{0} \frac{ \sin \alpha - \frac{H}{L} \cos \alpha}{ \sin \beta - \frac{H}{L} \cos \beta}$, (3)
$t = \frac{L}{v_{0} \cos \alpha} \left ( \frac{ \frac{H}{L} – tg \alpha}{ \frac{H}{L} – tg \beta} -1 \right )^{-1}$. (4)
Время движения до столкновения удобно выразить через скорость $\vec{v}_{r}$ движения одного камня относительно другого:
$t = \frac{ \sqrt{L^{2} + H^{2}}}{v_{r}}$
При фиксированных величине и направлении вектора $\vec{v}_{0}$ и заданном направлении вектора $\vec{v}$ из векторного треугольника скоростей, показанного рисунке, видно, что меньшим $\vec{v}_{r}$ соответствует меньшая скорость $v$. Таким образом, минимальной скорости $v$ соответствует минимальное значение $v_{r}$ и, следовательно, максимальное время $t$. Ещё одно условие ограничивает возможность столкновения камней. Камень, пущенный вдогонку, должен удалиться от начала координат по горизонтали на расстояние большее $L$. Дальность его полёта равна $v^{2} \sin 2 \beta/g$. Поэтому должно быть обеспечено условие
$v^{2} \sin 2 \beta \geq L_{g}$. (5)
Итак, нужно найти такие значения $v$ и $\beta$, которые удовлетворяют равенству (3), неравенству (5) и обеспечивают наибольшее значение (4). Подставляя (3) в (5), получим неравенство
$2 \frac{v_{0}^{2}}{L_{g}} \left ( \right ) tg \beta - \left ( \right )^{2} \geq 0$.
Обозначив
$ \frac{v_{0}^{2}}{L_{g}} \left ( \sin \alpha - \frac{H}{L} \cos \alpha \right )^{2} tg \beta - \left ( tg \beta - \frac{H}{L} \right ) ^{2} \geq 0$.
и $tg \beta = \xi$, получим:
$\xi^{2} – 2 \left ( \frac{H}{L} + a \right ) \xi + \frac{H^{2}}{L^{2}} \leq 0$.
Это неравенство выполняется, если
$\frac{H}{L} + a - \sqrt{a^{2} + 2a \frac{H}{L}} \leq \xi \leq \frac{H}{L} + a + \sqrt{a^{2} +2a \frac{H}{L} }$
Как видно из (4) при $\alpha = 60^{ \circ}$, большие значения $t$ обеспечиваются меньшими значениями $ \xi =tg \beta$. Поэтому нужно выбрать для $ \xi$ меньшее значение. Получим
$tg \beta = \frac{H}{L} + a + \sqrt{a^{2} + 2a \frac{H}{L}}$ при $ \alpha = 60^{ \circ}$. (6)
Аналогично из (4) при $\alpha = 60^{ \circ}$, большие значения $t$ обеспечиваются большими значениями $ \xi = tg \beta$. Поэтому нужно выбрать для $\xi$ большее значение. Получим
$tg \beta = \frac{H}{L} + a + \sqrt{ a^{2} + 2a \frac{H}{L}}$ при $\alpha = 60^{ \circ}$. (7)
Таким образом, ответы на поставленные в условии вопросы содержатся в формулах (6), (7) и (3). Подставляя численные значения, находим:
$\alpha = 0^{ \circ}, \beta \approx 11^{ \circ}, v \approx 16,4 м/с$.
$\alpha = 60^{ \circ}, \beta \approx 58^{ \circ}, v \approx 10,5 м/с$.
Из точки, расположенной на высоте $H = 5 м$ над краем обрыва, под углом $\alpha$ к горизонту в сторону обрыва бросили со скоростью $v_{0} = 10,0 м/с$ камень.
С какой минимальной скоростью $v$, и под каким углом $\beta$ к горизонту следует в тот же момент бросить с поверхности земли камень вдогонку первому из точки, удалённой от края обрыва на расстояние $L =10 м$, чтобы камни столкнулись? Рассмотреть случаи $\alpha = 0^{ \circ}$ и $\alpha = 60^{ \circ}$.
Решение:
Если пренебречь сопротивлением воздуха, то можно считать, что оба камня движутся с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения $\vec{g}$. Для описания их движения введём декартову систему координат так, как показано на рисунке. Если через промежуток времени $t$ камни столкнутся, то можно приравнять их координаты:
$vt \cos \beta = L + v_{0} t \cos \alpha$, (1)
$vt \sin \beta - \frac{gt^{2}}{2} = H + v_{0} t \sin \alpha - \frac{gt^{2}}{2}$. (2)
Из этих уравнений найдём:
$v = v_{0} \frac{ \sin \alpha - \frac{H}{L} \cos \alpha}{ \sin \beta - \frac{H}{L} \cos \beta}$, (3)
$t = \frac{L}{v_{0} \cos \alpha} \left ( \frac{ \frac{H}{L} – tg \alpha}{ \frac{H}{L} – tg \beta} -1 \right )^{-1}$. (4)
Время движения до столкновения удобно выразить через скорость $\vec{v}_{r}$ движения одного камня относительно другого:
$t = \frac{ \sqrt{L^{2} + H^{2}}}{v_{r}}$
При фиксированных величине и направлении вектора $\vec{v}_{0}$ и заданном направлении вектора $\vec{v}$ из векторного треугольника скоростей, показанного рисунке, видно, что меньшим $\vec{v}_{r}$ соответствует меньшая скорость $v$. Таким образом, минимальной скорости $v$ соответствует минимальное значение $v_{r}$ и, следовательно, максимальное время $t$. Ещё одно условие ограничивает возможность столкновения камней. Камень, пущенный вдогонку, должен удалиться от начала координат по горизонтали на расстояние большее $L$. Дальность его полёта равна $v^{2} \sin 2 \beta/g$. Поэтому должно быть обеспечено условие
$v^{2} \sin 2 \beta \geq L_{g}$. (5)
Итак, нужно найти такие значения $v$ и $\beta$, которые удовлетворяют равенству (3), неравенству (5) и обеспечивают наибольшее значение (4). Подставляя (3) в (5), получим неравенство
$2 \frac{v_{0}^{2}}{L_{g}} \left ( \right ) tg \beta - \left ( \right )^{2} \geq 0$.
Обозначив
$ \frac{v_{0}^{2}}{L_{g}} \left ( \sin \alpha - \frac{H}{L} \cos \alpha \right )^{2} tg \beta - \left ( tg \beta - \frac{H}{L} \right ) ^{2} \geq 0$.
и $tg \beta = \xi$, получим:
$\xi^{2} – 2 \left ( \frac{H}{L} + a \right ) \xi + \frac{H^{2}}{L^{2}} \leq 0$.
Это неравенство выполняется, если
$\frac{H}{L} + a - \sqrt{a^{2} + 2a \frac{H}{L}} \leq \xi \leq \frac{H}{L} + a + \sqrt{a^{2} +2a \frac{H}{L} }$
Как видно из (4) при $\alpha = 60^{ \circ}$, большие значения $t$ обеспечиваются меньшими значениями $ \xi =tg \beta$. Поэтому нужно выбрать для $ \xi$ меньшее значение. Получим
$tg \beta = \frac{H}{L} + a + \sqrt{a^{2} + 2a \frac{H}{L}}$ при $ \alpha = 60^{ \circ}$. (6)
Аналогично из (4) при $\alpha = 60^{ \circ}$, большие значения $t$ обеспечиваются большими значениями $ \xi = tg \beta$. Поэтому нужно выбрать для $\xi$ большее значение. Получим
$tg \beta = \frac{H}{L} + a + \sqrt{ a^{2} + 2a \frac{H}{L}}$ при $\alpha = 60^{ \circ}$. (7)
Таким образом, ответы на поставленные в условии вопросы содержатся в формулах (6), (7) и (3). Подставляя численные значения, находим:
$\alpha = 0^{ \circ}, \beta \approx 11^{ \circ}, v \approx 16,4 м/с$.
$\alpha = 60^{ \circ}, \beta \approx 58^{ \circ}, v \approx 10,5 м/с$.
