Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 828
2016-09-04 
В задаче исследуется плоское движение абсолютно твёрдого тела. Точки $A, B, C$ и $D$ принадлежат этому телу (рис.).
1. Задана скорость$\vec{v}$ точки $A$. Она изображена на рисунке в указанном там масштабе. Найдите скорость $\vec{v}_{C}$ точки $C$, если скорость точки $B$ направлена вдоль пунктирной прямой, изображённой на рисунке.
2. Скорость точки $A$ такая же, как и в первом пункте. Найдите скорость $\vec{v}_{C}$, если модуль скорости точки $B$ равен $1,0 м/с$.
3. Скорость точки $A$ такая же, как и в первых пунктах. Найдите скорость $\vec{v}_{D}$ точки $D$, если скорости точек $B$ и $C$ одинаковы по модулю.
Решение:
рис.1
рис.2
Плоское непоступательное движение абсолютно твёрдого тела в любой момент времени можно рассматривать как поворот вокруг некоторой точки, называемой мгновенным центром вращения. Мгновенный центр должен лежать на перпендикуляре к скорости каждой точки, проходящем через неё. На основании этого свойства абсолютно твёрдого тела выполнены построения на рисунке 1. Мгновенный центр $O$ лежит на пересечении перпендикуляра к $\vec{v}_{A}$, проведённого из точки $A$, и перпендикуляра к заданной прямой, проведённого из точки $B$. Если угловая скорость тела равна $\omega$, то $v_{A} = \omega \cdot OA, v_{C} = \omega \cdot OC$. Следовательно, $v_{C} = v_{A} \cdot OC/OA$. Измерив по рисунку $OC, OA$, а также скорость $v_{A}$, получим
$v_{C} = 3,1 м/с$.
Здесь и далее скорость точки $C$ изображена в произвольном масштабе.
Во втором пункте задачи для скорости точки $B$ можно указать лишь изображённую на рисунке 2 окружность, на которой находится конец вектора $\vec{v}_{B}$. Направление вектора $\vec{v}_{B}$ можно найти, исходя из того, что для абсолютно твёрдого тела проекции скоростей двух точек на соединяющую их прямую должны быть равны, иначе расстояние между точками изменилось бы. Отложив на прямой $AB$ от точки $B$ отрезок, равный проекции $\vec{v}_{A}$ на $AB$, получим два возможных направления скорости точки $B: \vec{v}_{B1}$ и $\vec{v}_{B2}$ (рис.2). Для каждого из этих двух возможных направлений построим соответствующие им мгновенные центры вращения $O_{1} , O_{2}$ и найдём две возможные скорости $\vec{v}_{C1}$ и $\vec{v}_{C2}$ тем же способом, который применялся в пункте 1. Направления скоростей показаны на рисунке 2, а модули равны:
$v_{C1} = 1,7 м/с$ и $v_{C2} = 0,3 м/с$.
В третьем пункте задано, что модули скоростей точек $B$ и $C$ равны. Если совпадают и их направления, то тело движется поступательно. В этом случае искомая скорость точки $D$, как и всех других точек, равна $\vec{v}_{A}$ . Если же скорости $\vec{v}_{B}$ и $\vec{v}_{C}$ не сонаправлены, то следует построить мгновенный центр и поступать так, как в пункте 1. Мгновенный центр лежит на перпендикуляре
рис.3
к скорости $\vec{v}_{A}$ , проведённом из точки $A$, а также на перпендикуляре к отрезку $BC$, проходящем через середину этого отрезка. Именно так построена точка $O$ на рисунке 3. Искомая скорость $\vec{v}_{D}$ перпендикулярна $OD$ и равна по модулю
$v_{D} = v_{A} \frac{OD}{OA} = 1,0 м/с$.
Таким образом, ответ задачи неоднозначен. Аналогичная ситуация имела место в пункте 2.
В задаче исследуется плоское движение абсолютно твёрдого тела. Точки $A, B, C$ и $D$ принадлежат этому телу (рис.).
1. Задана скорость$\vec{v}$ точки $A$. Она изображена на рисунке в указанном там масштабе. Найдите скорость $\vec{v}_{C}$ точки $C$, если скорость точки $B$ направлена вдоль пунктирной прямой, изображённой на рисунке.
2. Скорость точки $A$ такая же, как и в первом пункте. Найдите скорость $\vec{v}_{C}$, если модуль скорости точки $B$ равен $1,0 м/с$.
3. Скорость точки $A$ такая же, как и в первых пунктах. Найдите скорость $\vec{v}_{D}$ точки $D$, если скорости точек $B$ и $C$ одинаковы по модулю.
Решение:
рис.1
рис.2
Плоское непоступательное движение абсолютно твёрдого тела в любой момент времени можно рассматривать как поворот вокруг некоторой точки, называемой мгновенным центром вращения. Мгновенный центр должен лежать на перпендикуляре к скорости каждой точки, проходящем через неё. На основании этого свойства абсолютно твёрдого тела выполнены построения на рисунке 1. Мгновенный центр $O$ лежит на пересечении перпендикуляра к $\vec{v}_{A}$, проведённого из точки $A$, и перпендикуляра к заданной прямой, проведённого из точки $B$. Если угловая скорость тела равна $\omega$, то $v_{A} = \omega \cdot OA, v_{C} = \omega \cdot OC$. Следовательно, $v_{C} = v_{A} \cdot OC/OA$. Измерив по рисунку $OC, OA$, а также скорость $v_{A}$, получим
$v_{C} = 3,1 м/с$.
Здесь и далее скорость точки $C$ изображена в произвольном масштабе.
Во втором пункте задачи для скорости точки $B$ можно указать лишь изображённую на рисунке 2 окружность, на которой находится конец вектора $\vec{v}_{B}$. Направление вектора $\vec{v}_{B}$ можно найти, исходя из того, что для абсолютно твёрдого тела проекции скоростей двух точек на соединяющую их прямую должны быть равны, иначе расстояние между точками изменилось бы. Отложив на прямой $AB$ от точки $B$ отрезок, равный проекции $\vec{v}_{A}$ на $AB$, получим два возможных направления скорости точки $B: \vec{v}_{B1}$ и $\vec{v}_{B2}$ (рис.2). Для каждого из этих двух возможных направлений построим соответствующие им мгновенные центры вращения $O_{1} , O_{2}$ и найдём две возможные скорости $\vec{v}_{C1}$ и $\vec{v}_{C2}$ тем же способом, который применялся в пункте 1. Направления скоростей показаны на рисунке 2, а модули равны:
$v_{C1} = 1,7 м/с$ и $v_{C2} = 0,3 м/с$.
В третьем пункте задано, что модули скоростей точек $B$ и $C$ равны. Если совпадают и их направления, то тело движется поступательно. В этом случае искомая скорость точки $D$, как и всех других точек, равна $\vec{v}_{A}$ . Если же скорости $\vec{v}_{B}$ и $\vec{v}_{C}$ не сонаправлены, то следует построить мгновенный центр и поступать так, как в пункте 1. Мгновенный центр лежит на перпендикуляре
рис.3
к скорости $\vec{v}_{A}$ , проведённом из точки $A$, а также на перпендикуляре к отрезку $BC$, проходящем через середину этого отрезка. Именно так построена точка $O$ на рисунке 3. Искомая скорость $\vec{v}_{D}$ перпендикулярна $OD$ и равна по модулю
$v_{D} = v_{A} \frac{OD}{OA} = 1,0 м/с$.
Таким образом, ответ задачи неоднозначен. Аналогичная ситуация имела место в пункте 2.
