Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8272
2018-07-01 
Плоская световая волна с $\lambda = 0,65 мкм$ падает нормально на большую стеклянную пластинку, на противоположной стороне которой сделана длинная прямоугольная выемка ширины 0,60 мм. Найти с помощью рис. глубину выемки $h$, при которой в середине дифракционной картины на экране, отстоящем на 77 см от пластинки, будет максимум освещенности.
Решение:
Пусть $a$ - ширина выемки и
$\nu = \frac{a}{2} \sqrt{ \frac{2}{b \lambda} } = \frac{a}{ \sqrt{2b \lambda} } = \frac{0,6}{ \sqrt{2 \cdot 0,77 \cdot 0,65} } \approx 0,60$
параметр вдоль спирали Корну, соответствующий полуширине углубления. Амплитуда дифрагированной волны определяется формулой
$\sim const \left ( e^{ ib} \int_{ - nu}^{ \nu} e^{ - i \pi u^{2} /2 } du + \int_{ \nu}^{ \infty} e^{ - i \pi u^{2} /2 } du + \int_{- \infty}^{ \nu} e^{ - \pi u^{2} /2 } du \right )$
где $\delta = \frac{2 \pi}{ \lambda} (n - 1)h$
является дополнительной фазой из-за выемки. (На самом деле над выемкой $e^{ - i \delta}$ появляется лишняя фаза. Но когда мы ее выделяем и поглощаем в константе, получаем написанное выражение ).
Таким образом, амплитуда
$\sim const \left ( (C( \nu) - iS( \nu) )e^{ i \delta} + \left ( \frac{1}{2} - C( \nu) \right ) - i \left ( \frac{1}{2} - S( \nu) \right ) \right )$
Из спирали Корну координаты, соответствующие параметру $\nu = 0,60$, равны
$C( \nu) = 0,57, S ( \nu) = 0,13$
поэтому интенсивность в О пропорциональна
$| [(0,57 - 0,13i) e^{i \delta} - 0,07 - i0,37] |^{2} = (0,57^{2} + 0,13^{2}) + 0,07^{2} + 0,37^{2} + (0,57 - 0,13i)(- 0,07 + 0,37i) e^{i \delta} + (0,57 + 0,13i) (- 0,07 - i0,37i) e^{ - I \delta}$
Запишем
$0,57 \mp 0,13i = 0,585 e^{ m \pi \alpha}, \alpha = 12,8^{ \circ}$
$-0,07 \pm 0,37i = 0,377 e^{ \pi i \beta} \beta = 100,7^{ \circ}$
Таким образом, перекрестный член
$2 \cdot 0,585 \cdot 0,377 \cdot ( \delta + 88^{ \circ} ) = 2 \cdot 0,585 \cdot 0,377 \cos \left ( \delta + \frac{ \pi}{2} \right )$
Для максимальной интенсивности
$\delta + \frac{ \pi}{2} = 2k^{ \prime} \pi, k^{ \prime} = 1,2,3,4, \cdots = 2(k + 1) \pi, k = 0,1,2,3, \cdots$
или $\delta = 2 k \pi + \frac{3 \pi}{2}$
Итак $h = \frac{ \lambda}{n - 1} \left (k + \frac{3}{4} \right )$
Плоская световая волна с $\lambda = 0,65 мкм$ падает нормально на большую стеклянную пластинку, на противоположной стороне которой сделана длинная прямоугольная выемка ширины 0,60 мм. Найти с помощью рис. глубину выемки $h$, при которой в середине дифракционной картины на экране, отстоящем на 77 см от пластинки, будет максимум освещенности.
Решение:
Пусть $a$ - ширина выемки и
$\nu = \frac{a}{2} \sqrt{ \frac{2}{b \lambda} } = \frac{a}{ \sqrt{2b \lambda} } = \frac{0,6}{ \sqrt{2 \cdot 0,77 \cdot 0,65} } \approx 0,60$
параметр вдоль спирали Корну, соответствующий полуширине углубления. Амплитуда дифрагированной волны определяется формулой
$\sim const \left ( e^{ ib} \int_{ - nu}^{ \nu} e^{ - i \pi u^{2} /2 } du + \int_{ \nu}^{ \infty} e^{ - i \pi u^{2} /2 } du + \int_{- \infty}^{ \nu} e^{ - \pi u^{2} /2 } du \right )$
где $\delta = \frac{2 \pi}{ \lambda} (n - 1)h$
является дополнительной фазой из-за выемки. (На самом деле над выемкой $e^{ - i \delta}$ появляется лишняя фаза. Но когда мы ее выделяем и поглощаем в константе, получаем написанное выражение ).
Таким образом, амплитуда
$\sim const \left ( (C( \nu) - iS( \nu) )e^{ i \delta} + \left ( \frac{1}{2} - C( \nu) \right ) - i \left ( \frac{1}{2} - S( \nu) \right ) \right )$
Из спирали Корну координаты, соответствующие параметру $\nu = 0,60$, равны
$C( \nu) = 0,57, S ( \nu) = 0,13$
поэтому интенсивность в О пропорциональна
$| [(0,57 - 0,13i) e^{i \delta} - 0,07 - i0,37] |^{2} = (0,57^{2} + 0,13^{2}) + 0,07^{2} + 0,37^{2} + (0,57 - 0,13i)(- 0,07 + 0,37i) e^{i \delta} + (0,57 + 0,13i) (- 0,07 - i0,37i) e^{ - I \delta}$
Запишем
$0,57 \mp 0,13i = 0,585 e^{ m \pi \alpha}, \alpha = 12,8^{ \circ}$
$-0,07 \pm 0,37i = 0,377 e^{ \pi i \beta} \beta = 100,7^{ \circ}$
Таким образом, перекрестный член
$2 \cdot 0,585 \cdot 0,377 \cdot ( \delta + 88^{ \circ} ) = 2 \cdot 0,585 \cdot 0,377 \cos \left ( \delta + \frac{ \pi}{2} \right )$
Для максимальной интенсивности
$\delta + \frac{ \pi}{2} = 2k^{ \prime} \pi, k^{ \prime} = 1,2,3,4, \cdots = 2(k + 1) \pi, k = 0,1,2,3, \cdots$
или $\delta = 2 k \pi + \frac{3 \pi}{2}$
Итак $h = \frac{ \lambda}{n - 1} \left (k + \frac{3}{4} \right )$
