Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 827
2016-09-04 
С вертикальной скалы высотой $H$ брошен горизонтально со скоростью $v_{0}$ камень массой $m$. Спустя некоторое время он стал двигаться с постоянной скоростью. Считая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости $( \vec{F}= - k \vec{v} )$, найти:
1. Расстояние $L$ по горизонтали, на которое камень удалится от скалы в момент падения.
2. Время $\tau$ движения камня.
Решение:
Для описания движения камня выберем декартову систему координат так, как показано на рисунке. К камню приложены сила тяжести $m \vec{g}$ и сила сопротивления $\vec{F}$, направленная навстречу скорости $\vec{v}$. Запишем уравнения второго закона Ньютона в проекциях на координатные оси:
$m \frac{dv_{x}}{dt} = -kv_{x}$, (1)
$m \frac{dv_{y}}{dt} = -kv_{y} - mg$. (2)
Перепишем эти уравнения иначе, учтя, что $v_{x} dt = dx, v_{y} dt = dy$:
$mdv_{x} = -kdx$, (3)
$mdv_{y} = - kdy - mgdt$. (4)
Для установившегося движения $v = u = const$, где $\vec{u}$ - установившаяся скорость камня, поэтому из (1) и (2) следует, что $u_{x} = 0$, а
$u_{y}= -mg/k$. (5)
То есть установившаяся скорость $\vec{u}$ направлена так, как показано на рисунке. Для нахождения $L$ проинтегрируем уравнение (3) для всего движения камня:
$m \left . v_{x} \right |_{v_{0}}^{0} = -k \left . x \right |_{0}^{L}$ , откуда $L = \frac{mv_{0}}{k}$
Для нахождения времени т проинтегрируем уравнение (4) с учётом (5):
$m \left . v_{y} \right |_{0}^{u_{y}} = -k \left . y \right |_{H}^{0} – mgr$ или $\tau = \frac{kH}{mg} + \frac{m}{k}$. (6)
При каких $H$ возможна описанная в задаче ситуация? Оценим время, в течение которого скорость достигает установившегося значения. Для этого в формуле (1) положим:
$m \frac{ \Delta v_{x}}{ \Delta t} \sim -kv_{0}$.
Отсюда $\Delta \sim m/k$. За это время камень опустится вниз на расстояние
$H_{1} \sim \frac{g \Delta t^{2}}{2}$
Ясно, что должно быть $H > \sim H_{1}$. Так что описанная в задаче ситуация, для которой получен ответ (6), будет иметь место при
$H > \sim \frac{g}{2} \left ( \frac{m}{k} \right )^{2} $.
С вертикальной скалы высотой $H$ брошен горизонтально со скоростью $v_{0}$ камень массой $m$. Спустя некоторое время он стал двигаться с постоянной скоростью. Считая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости $( \vec{F}= - k \vec{v} )$, найти:
1. Расстояние $L$ по горизонтали, на которое камень удалится от скалы в момент падения.
2. Время $\tau$ движения камня.
Решение:
Для описания движения камня выберем декартову систему координат так, как показано на рисунке. К камню приложены сила тяжести $m \vec{g}$ и сила сопротивления $\vec{F}$, направленная навстречу скорости $\vec{v}$. Запишем уравнения второго закона Ньютона в проекциях на координатные оси:
$m \frac{dv_{x}}{dt} = -kv_{x}$, (1)
$m \frac{dv_{y}}{dt} = -kv_{y} - mg$. (2)
Перепишем эти уравнения иначе, учтя, что $v_{x} dt = dx, v_{y} dt = dy$:
$mdv_{x} = -kdx$, (3)
$mdv_{y} = - kdy - mgdt$. (4)
Для установившегося движения $v = u = const$, где $\vec{u}$ - установившаяся скорость камня, поэтому из (1) и (2) следует, что $u_{x} = 0$, а
$u_{y}= -mg/k$. (5)
То есть установившаяся скорость $\vec{u}$ направлена так, как показано на рисунке. Для нахождения $L$ проинтегрируем уравнение (3) для всего движения камня:
$m \left . v_{x} \right |_{v_{0}}^{0} = -k \left . x \right |_{0}^{L}$ , откуда $L = \frac{mv_{0}}{k}$
Для нахождения времени т проинтегрируем уравнение (4) с учётом (5):
$m \left . v_{y} \right |_{0}^{u_{y}} = -k \left . y \right |_{H}^{0} – mgr$ или $\tau = \frac{kH}{mg} + \frac{m}{k}$. (6)
При каких $H$ возможна описанная в задаче ситуация? Оценим время, в течение которого скорость достигает установившегося значения. Для этого в формуле (1) положим:
$m \frac{ \Delta v_{x}}{ \Delta t} \sim -kv_{0}$.
Отсюда $\Delta \sim m/k$. За это время камень опустится вниз на расстояние
$H_{1} \sim \frac{g \Delta t^{2}}{2}$
Ясно, что должно быть $H > \sim H_{1}$. Так что описанная в задаче ситуация, для которой получен ответ (6), будет иметь место при
$H > \sim \frac{g}{2} \left ( \frac{m}{k} \right )^{2} $.
