Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 826
2016-09-04 
На корабле, отплывающем от крутого берега, время от времени измеряют глубину моря. На расстоянии $L_{1} = 100 м$ от берега глубина моря оказалась $h_{1} = 150 м$, на удалении $L_{2} = 140 м$ зафиксирована глубина $h_{2} = 200 м$, на расстоянии $L_{3} = 210 м$ от берега эхолот зарегистрировал два отражённых сигнала. Один из них соответствует глубине $h_{3} = 300 м$, а другой $h_{4} = 400 м$. Было высказано предположение, что второй сигнал обусловлен изменением знака наклона морского дна. Исходя из этого предположения, определите каков угол подъёма морского дна далее по курсу корабля.
При измерении глубины с корабля посылается направленная акустическая волна вертикально вниз. При взаимодействии со дном волна изотропно отражается во все стороны. На корабле регистрируется отражённый сигнал.
При решении задачи могут понадобиться некоторые свойства эллипса. Напомним их. Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов - постоянная величина, равная длине его большей оси. Малая полуось эллипса $b = \sqrt{a^{2}-c^{2}}$ где $a$ - большая полуось, а $c$ - расстояние от фокусов эллипса до его центра. Уравнение эллипса имеет вид:
$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$,
где начало декартовой системы координат расположено в центре эллипса, ось $x$ направлена вдоль большой оси, а $y$ - вдоль малой. Нормаль к эллипсу в точке является биссектрисой угла между прямыми, соединяющими эту точку с фокусами эллипса.
Решение:
рис. 1
рис. 2
В соответствии с условиями задачи морское дно в месте отплытия корабля приближённо можно рассматривать в виде двух наклонных плоскостей $AB$ и $BC$ (рис.1), углы наклона которых $\alpha$ и $\beta$. Подтверждением плоской модели у самого берега служат приведённые в условии результаты акустических измерений:
$\frac{h_{1}}{L_{1}} = \frac{150}{100} \approx \frac{h_{2}}{L_{2}} = \frac{200}{140} \approx \frac{h_{3}}{L_{3}} = \frac{300}{250} \approx 1,4 $.
Полученное отношение равно $tg \alpha$. Отсюда следует, что у берега дно опускается под углом $\alpha \approx 55^{ \circ}$ к горизонту.
Происхождение второго отражённого сигнала эхолота ясно из показанного стрелками на рисунке 1 хода акустического луча. Нужно найти положение плоскости $BC$. Точка, в которой происходит отражение луча, должна быть расположена с одной стороны так, чтобы было обеспечено зарегистрированное эхолотом время прохождения через неё акустического луча, с другой стороны необходимо, чтобы угол падения акустического луча на плоскость $BC$ был равен углу его отражения. Этим условиям удовлетворяет точка $M$, принадлежащая участку эллипса, изображённого на рисунке 2. $F_{1}$ и $F_{2}$ - фокусы эллипса. Расстояние $F_{1}F_{2}$ равно $h_{3}$ (рис. 1). Заданная в условии величина $h_{4}$ получается, аналогично $h_{1}, h_{2}$ и $h_{3}$ умножением скорости звука на половину интервала времени между принятым и отправленным эхолотом сигналами, то есть
$h_{4} = \frac{1}{4} (F_{1}F_{2} + F_{2}M + MF_{1}) = \frac{1}{2} (h_{3} + 2a) = \frac{1}{2} h_{3} + a$,
где $a$ - большая полуось эллипса. Поскольку нормаль эллипса $\vec{n}$ в точке $M$ является биссектрисой угла $ \angle F_{2}MF_{1}$, то искомая плоскость $BC$ - касательная к эллипсу в этой точке. Найдём тангенс угла наклона касательной:
$tg \beta = - \frac{dx}{dy}$, (2)
где $x$ и $y$ - координаты точки эллипса $M$. Они связаны уравнением эллипса
$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$. (3)
Дифференцируя (3), получим
$tg \beta = \frac{a^{2}}{b^{2}} \frac{y}{x}$.
Большая полуось эллипса находится из (1):
$a = h_{4} - \frac{1}{2} h_{3} = 250 м$. (5)
Численные вычисления целесообразно использовать в связи с громоздкостью выражений в общем виде. Малая полуось эллипса
$h = \sqrt{a^{2} - c^{2}} = \sqrt{h^{2}_{4} – h_{3}h_{3}} = 200 м$. (6)
Координаты $x$ и $y$ точки $M$ удовлетворяют не только уравнению эллипса (3), но и, как следует из рисунка 2, соотношению
$x = - \frac{y}{tg 2 \alpha} + \frac{h_{3}}{2} = 0,364y + 150$, (7)
где $x$ и $y$ измеряются в метрах. Подставляя (7) в (3), получим квадратное уравнение для нахождения $y$:
$2,712 \cdot 10^{-5}y^{2} + 1,747 \cdot 10^{-3}y - 0,640 = 0$.
Отсюда $y = 125 м$, и из (7) находим $x = 195 м$. С найденными значениями получаем из (4) $\beta = 45^{ \circ}$.
На корабле, отплывающем от крутого берега, время от времени измеряют глубину моря. На расстоянии $L_{1} = 100 м$ от берега глубина моря оказалась $h_{1} = 150 м$, на удалении $L_{2} = 140 м$ зафиксирована глубина $h_{2} = 200 м$, на расстоянии $L_{3} = 210 м$ от берега эхолот зарегистрировал два отражённых сигнала. Один из них соответствует глубине $h_{3} = 300 м$, а другой $h_{4} = 400 м$. Было высказано предположение, что второй сигнал обусловлен изменением знака наклона морского дна. Исходя из этого предположения, определите каков угол подъёма морского дна далее по курсу корабля.
При измерении глубины с корабля посылается направленная акустическая волна вертикально вниз. При взаимодействии со дном волна изотропно отражается во все стороны. На корабле регистрируется отражённый сигнал.
При решении задачи могут понадобиться некоторые свойства эллипса. Напомним их. Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов - постоянная величина, равная длине его большей оси. Малая полуось эллипса $b = \sqrt{a^{2}-c^{2}}$ где $a$ - большая полуось, а $c$ - расстояние от фокусов эллипса до его центра. Уравнение эллипса имеет вид:
$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$,
где начало декартовой системы координат расположено в центре эллипса, ось $x$ направлена вдоль большой оси, а $y$ - вдоль малой. Нормаль к эллипсу в точке является биссектрисой угла между прямыми, соединяющими эту точку с фокусами эллипса.
Решение:
рис. 1
рис. 2
В соответствии с условиями задачи морское дно в месте отплытия корабля приближённо можно рассматривать в виде двух наклонных плоскостей $AB$ и $BC$ (рис.1), углы наклона которых $\alpha$ и $\beta$. Подтверждением плоской модели у самого берега служат приведённые в условии результаты акустических измерений:
$\frac{h_{1}}{L_{1}} = \frac{150}{100} \approx \frac{h_{2}}{L_{2}} = \frac{200}{140} \approx \frac{h_{3}}{L_{3}} = \frac{300}{250} \approx 1,4 $.
Полученное отношение равно $tg \alpha$. Отсюда следует, что у берега дно опускается под углом $\alpha \approx 55^{ \circ}$ к горизонту.
Происхождение второго отражённого сигнала эхолота ясно из показанного стрелками на рисунке 1 хода акустического луча. Нужно найти положение плоскости $BC$. Точка, в которой происходит отражение луча, должна быть расположена с одной стороны так, чтобы было обеспечено зарегистрированное эхолотом время прохождения через неё акустического луча, с другой стороны необходимо, чтобы угол падения акустического луча на плоскость $BC$ был равен углу его отражения. Этим условиям удовлетворяет точка $M$, принадлежащая участку эллипса, изображённого на рисунке 2. $F_{1}$ и $F_{2}$ - фокусы эллипса. Расстояние $F_{1}F_{2}$ равно $h_{3}$ (рис. 1). Заданная в условии величина $h_{4}$ получается, аналогично $h_{1}, h_{2}$ и $h_{3}$ умножением скорости звука на половину интервала времени между принятым и отправленным эхолотом сигналами, то есть
$h_{4} = \frac{1}{4} (F_{1}F_{2} + F_{2}M + MF_{1}) = \frac{1}{2} (h_{3} + 2a) = \frac{1}{2} h_{3} + a$,
где $a$ - большая полуось эллипса. Поскольку нормаль эллипса $\vec{n}$ в точке $M$ является биссектрисой угла $ \angle F_{2}MF_{1}$, то искомая плоскость $BC$ - касательная к эллипсу в этой точке. Найдём тангенс угла наклона касательной:
$tg \beta = - \frac{dx}{dy}$, (2)
где $x$ и $y$ - координаты точки эллипса $M$. Они связаны уравнением эллипса
$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$. (3)
Дифференцируя (3), получим
$tg \beta = \frac{a^{2}}{b^{2}} \frac{y}{x}$.
Большая полуось эллипса находится из (1):
$a = h_{4} - \frac{1}{2} h_{3} = 250 м$. (5)
Численные вычисления целесообразно использовать в связи с громоздкостью выражений в общем виде. Малая полуось эллипса
$h = \sqrt{a^{2} - c^{2}} = \sqrt{h^{2}_{4} – h_{3}h_{3}} = 200 м$. (6)
Координаты $x$ и $y$ точки $M$ удовлетворяют не только уравнению эллипса (3), но и, как следует из рисунка 2, соотношению
$x = - \frac{y}{tg 2 \alpha} + \frac{h_{3}}{2} = 0,364y + 150$, (7)
где $x$ и $y$ измеряются в метрах. Подставляя (7) в (3), получим квадратное уравнение для нахождения $y$:
$2,712 \cdot 10^{-5}y^{2} + 1,747 \cdot 10^{-3}y - 0,640 = 0$.
Отсюда $y = 125 м$, и из (7) находим $x = 195 м$. С найденными значениями получаем из (4) $\beta = 45^{ \circ}$.
