Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 825
2016-09-04 
Две частицы одновременно начали двигаться в однородном поле тяжести $\vec{g}$. Начальные их скорости равны по модулю $v_{0}$ и лежат в одной вертикальной плоскости. Угол наклона вектора одной из скоростей к горизонту равен $\alpha$, а другой $2 \alpha$. В какой момент времени $\tau$ от начала движения скорости частиц окажутся сонаправленными? Сопротивлением движению пренебречь.
Решение:
Обе частицы, рассматриваемые в задаче, движутся с постоянными ускорениями, равными ускорению свободного падения $\vec{g}$. Проекции их скоростей на горизонтальную $x$ и вертикальную $y$ оси равны:
$v_{1x} = v_{0} \cos \alpha, v_{1y} = v_{0} \sin \alpha – g \tau$ (1)
$v_{2x} = v_{0} \cos 2 \alpha, v_{2y} = v_{0} \sin 2 \alpha – g \tau$.
Индекс 1 относится к частице, начальная скорость которой направлена под углом $\alpha$ к горизонту, а индекс 2 - к другой частице. Так как скорости в момент времени $\tau$ оказались сонаправленными, то
$\frac{v_{1y}}{v_{1x}}= \frac{v_{2y}}{v_{2x}}$,
или после подстановки соотношений (1):
$tg \alpha - \frac{g \tau}{v_{0} \cos \alpha} = tg 2 \alpha - \frac{g \tau}{v_{0} \cos 2 \alpha}$.
Из этого уравнения после тригонометрических преобразований получим ответ:
$\tau = \frac{v_{0}}{g} \frac{ tg 2 \alpha – tg \alpha}{ g \left ( \frac{1}{ \cos 2 \alpha} - \frac{1}{ \cos \alpha} \right )}$,
$tg 2 \alpha – tg \alpha = \frac{ \sin 2 \alpha}{ \cos 2 \alpha} - \frac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha} = \frac{ \sin \alpha}{ \cos 2 \alpha \cos \alpha}$,
$\frac{1}{ \cos 2 \alpha} - \frac{1}{ \cos \alpha} = \frac{2 \cos( \alpha/2) \cos(3 \alpha/2)}{ \cos 2 \alpha} \cos \alpha$,
$\tau = \frac{v_{0} \cos ( \alpha /2)}{g \sin (3 \alpha /2)}$. (2)
Задачу можно решить и другим способом, не требующим тригонометрических преобразований. Для этого нужно рассмотреть движение одной частицы относительно другой. Из закона сложения ускорений (аналогично закону сложения скоростей) следует, что частицы движутся друг относительно друга с постоянной скоростью. Скорость $\vec{v}_{12}$ первой частицы относительно второй
$\vec{v}_{12} = \vec{v}_{1} - \vec{v}_{2} = \vec{v}_{10} - \vec{v}_{20}$, (3)
где индексом 0 отмечены начальные значения скоростей. В момент времени $\tau$ скорости $\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}$ и $\vec{v}_{12}$ сонаправлены. Имея это в виду, изобразим (рис.) треугольник скоростей $ABC$, соответствующий формуле (3), а также треугольник $ABD$, отражающий равенство
$\vec{v}_{1}= \vec{v}_{10} + \vec{g} \tau$.
Так как $AB = BC = v_{0}$, то $ \angle BAC = 90^{ \circ} - \frac{ \alpha}{2}$, а $ \angle ADB = \frac{3 \alpha}{2}$.
Применяем к $\triangle AED$ теорему синусов:
$\frac{v_{0}}{ \sin \left ( \frac{3 \alpha}{2} \right )} = \frac{g \tau}{ \cos \left ( \frac{ \alpha}{2} \right )}$
Отсюда сразу следует ответ (2). Таким образом, переход в другую систему отсчёта позволил использовать геометрию вместо проведения тригонометрических преобразований.
Две частицы одновременно начали двигаться в однородном поле тяжести $\vec{g}$. Начальные их скорости равны по модулю $v_{0}$ и лежат в одной вертикальной плоскости. Угол наклона вектора одной из скоростей к горизонту равен $\alpha$, а другой $2 \alpha$. В какой момент времени $\tau$ от начала движения скорости частиц окажутся сонаправленными? Сопротивлением движению пренебречь.
Решение:
Обе частицы, рассматриваемые в задаче, движутся с постоянными ускорениями, равными ускорению свободного падения $\vec{g}$. Проекции их скоростей на горизонтальную $x$ и вертикальную $y$ оси равны:
$v_{1x} = v_{0} \cos \alpha, v_{1y} = v_{0} \sin \alpha – g \tau$ (1)
$v_{2x} = v_{0} \cos 2 \alpha, v_{2y} = v_{0} \sin 2 \alpha – g \tau$.
Индекс 1 относится к частице, начальная скорость которой направлена под углом $\alpha$ к горизонту, а индекс 2 - к другой частице. Так как скорости в момент времени $\tau$ оказались сонаправленными, то
$\frac{v_{1y}}{v_{1x}}= \frac{v_{2y}}{v_{2x}}$,
или после подстановки соотношений (1):
$tg \alpha - \frac{g \tau}{v_{0} \cos \alpha} = tg 2 \alpha - \frac{g \tau}{v_{0} \cos 2 \alpha}$.
Из этого уравнения после тригонометрических преобразований получим ответ:
$\tau = \frac{v_{0}}{g} \frac{ tg 2 \alpha – tg \alpha}{ g \left ( \frac{1}{ \cos 2 \alpha} - \frac{1}{ \cos \alpha} \right )}$,
$tg 2 \alpha – tg \alpha = \frac{ \sin 2 \alpha}{ \cos 2 \alpha} - \frac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha} = \frac{ \sin \alpha}{ \cos 2 \alpha \cos \alpha}$,
$\frac{1}{ \cos 2 \alpha} - \frac{1}{ \cos \alpha} = \frac{2 \cos( \alpha/2) \cos(3 \alpha/2)}{ \cos 2 \alpha} \cos \alpha$,
$\tau = \frac{v_{0} \cos ( \alpha /2)}{g \sin (3 \alpha /2)}$. (2)
Задачу можно решить и другим способом, не требующим тригонометрических преобразований. Для этого нужно рассмотреть движение одной частицы относительно другой. Из закона сложения ускорений (аналогично закону сложения скоростей) следует, что частицы движутся друг относительно друга с постоянной скоростью. Скорость $\vec{v}_{12}$ первой частицы относительно второй
$\vec{v}_{12} = \vec{v}_{1} - \vec{v}_{2} = \vec{v}_{10} - \vec{v}_{20}$, (3)
где индексом 0 отмечены начальные значения скоростей. В момент времени $\tau$ скорости $\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}$ и $\vec{v}_{12}$ сонаправлены. Имея это в виду, изобразим (рис.) треугольник скоростей $ABC$, соответствующий формуле (3), а также треугольник $ABD$, отражающий равенство
$\vec{v}_{1}= \vec{v}_{10} + \vec{g} \tau$.
Так как $AB = BC = v_{0}$, то $ \angle BAC = 90^{ \circ} - \frac{ \alpha}{2}$, а $ \angle ADB = \frac{3 \alpha}{2}$.
Применяем к $\triangle AED$ теорему синусов:
$\frac{v_{0}}{ \sin \left ( \frac{3 \alpha}{2} \right )} = \frac{g \tau}{ \cos \left ( \frac{ \alpha}{2} \right )}$
Отсюда сразу следует ответ (2). Таким образом, переход в другую систему отсчёта позволил использовать геометрию вместо проведения тригонометрических преобразований.
