2016-09-04
Солнечные лучи падают на вогнутое сферическое зеркало диаметром $D$ параллельно его оси симметрии. Радиус кривизны поверхности зеркала $R \gg T$. В фокальной плоскости зеркала перпендикулярно его оси симметрии помещён непрозрачный экран радиусом $r$. Как зависит средняя освещённость светового пятна на экране от радиуса экрана?
Решение:
рис.1
рис.2
На рисунке 1 показан ход луча, падающего на зеркало на расстоянии $x$ от его оптической оси. $O$ - центр кривизны зеркала. Фокус $F$ удалён от центра на расстояние $OF = R/2$. Отражённый луч пересекает главную оптическую ось в точке $F_{x}$, для которой, как видно из рисунка, $OF_{x} = \frac{R}{ 2 \cos \alpha}$. Угол $\alpha$ зависит от $x$ так как $\sin \alpha = x/R$. Найдём, на каком расстоянии $y$ от главной оптической оси луч пересекает фокальную плоскость. Это нетрудно сделать с помощью рисунка 1:
$y = \left ( \frac{R}{2 \cos \alpha} - \frac{R}{2} \right ) tg(2 \alpha)$. (1)
В соответствии с условием задачи углы а малы, поэтому можно использовать приближения:
$\sin \alpha \approx tg \alpha \approx \alpha$ и $\cos \alpha \approx 1 - \frac{ \alpha^{2}}{2}$
которые существенно упрощают формулу (1):
$y \approx \frac{R}{2} \alpha^{3} = \frac{x^{3}}{2R^{2}}$. (2)
Чтобы найти среднюю освещённость экрана, следует световой поток, падающий на него, поделить на площадь пятна на экране. Какие же лучи попадают на экран? На зеркало падают лучи, проходящие мимо экрана. Для них
$r < x < \frac{D}{2}$ (3)
и, согласно (2),
$\frac{r^{3}}{2R^{2}} < y < \frac{D^{3}}{16 R^{2}}$. (4)
Все эти лучи попадают на экран, если он достаточно велик, то есть при
$r > \frac{D^{3}}{16R^{2}}$. (5)
В этом случае площадь освещённого пятна на экране
$S_{1} = \pi \left ( \left ( \frac{D^{3}}{16R^{2}} \right )^{2} - \left ( \frac{r^{3}}{2R^{2}} \right )^{2} \right )$.
Световой поток $\Phi$, падающий на это пятно, найдём по формуле $\Phi = NS_{2}$, где $N$ - мощность солнечного излучения, приходящегося на единичную площадку, перпендикулярную лучам, а $S_{2}$ - площадь так же ориентированной площадки, которую пересекают лучи, попадающие на зеркало. Эта площадь равна
$S_{2} = \pi \left ( \left ( \frac{D}{2} \right )^{2} - r^{2} \right )$.
Таким образом, получаем для средней освещённости $E$ светового пятна при условии $r > D^{3}/(16R^{2})$:
$E = \frac{N \left ( \left ( \frac{D}{2} \right )^{2} - r^{2} \right )}{ \left ( \frac{D^{3}}{16R^{2}} \right )^{2} - \left ( \frac{r^{3}}{2R^{2}} \right )^{2}} = \frac{4R^{4}N}{ \left ( \frac{D}{2} \right )^{4} + r^{4} \left ( \frac{D}{2} \right )^{2} + r^{4}}$. (6)
Если экран небольшой, то есть $r \leq \frac{D^{3}}{16R^{2}}$, то на него попадают не все лучи, отражённые зеркалом. Площадь освещённого пятна $S_{1}$ в этом случае равна:
$S_{1} = \pi \left ( r^{2} - \left ( \frac{r^{3}}{2R^{2}} \right )^{2} \right )$.
Площадь $S_{2}$ в этом случае принимает значение
$S_{2} = \pi( x_{1}^{2} - r^{2})$,
где $x_{1}$ находится из формулы (2) при подстановке в неё $y = r: x_{1}^{3} = 2R^{2}r$. Зная $S_{1}$ и $S_{2}$, находим освещённость $E$ при условии $r \leq D^{3}/(16R^{2})$:
$E = N \frac{x_{1}^{2} – r^{2}}{ r^{2} - \left ( \frac{r^{3}}{2R^{2}} \right )^{2}} = N \frac{(2R^{2}r)^{2/3} – r^{2}}{r^{2} - \left ( \frac{r^{3}}{2R^{2}} \right )^{2}}$. (7)
При $r \ll R$ находим из полученного выражения
$E \approx 2^{2/3} \cdot N \left ( \frac{R}{r} \right )^{4/3}$,
то есть при $r \rightarrow 0$ освещённость неограниченно возрастает. Такое заключение получилось в рамках геометрической оптики, справедливой, когда длина волны света $\lambda \ll D$. Дифракция света приводит к тому, что в фокальной плоскости получается не точка, а пятнышко, что ограничивает величину $E$. При больших $r$ изменяющихся в пределах от $D^{3}/(16R^{2})$ до $D/2$, то есть в $8R^{2}/D^{2}$ раз, освещённость в соответствии с формулой (6) изменяется всего в 3 раза, что говорит о слабой зависимости $E$ от $r$. Качественно характер зависимости $E(r)$ отражает рисунок 2, на котором
$E_{m} = \frac{64}{3} N \left ( \frac{R}{D} \right )^{4}$.