Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8239
2018-07-01 
Для уменьшения потерь света из-за отражения от поверхности стекла последнее покрывают тонким слоем вещества с показателем преломления $n^{ \prime} = \sqrt{n}$, где $n$ — показатель преломления стекла. В этом случае амплитуды световых колебаний, отраженных от обеих поверхностей такого слоя, будут одинаковыми. При какой толщине этого слоя отражательная способность стекла в направлении нормали будет равна нулю для света с длиной волны $\lambda$.
Решение:
Когда поверхность стекла покрыта материалом с показателем преломления $n^{ \prime} = \sqrt{n}$ ($n$ -показатель преломления стекла) соответствующей толщины, отражение является нулевым из-за интерференции между различными многократно отраженными волнами. Мы покажем это ниже.
Пусть волна единичной амплитуды падает слева. Отраженная амплитуда равна $-r$, где
$r = \frac{ \sqrt{n} - 1 }{ \sqrt{n} + 1 }$
Его фаза отрицательна поэтому записываем отраженную волну как $- r$. Передаваемая волна имеет амплитуду $t$
$t = \frac{2}{1 + \sqrt{n} }$
Эта волна отражается на второй грани и имеет амплитуду $-tr$
( так как $ \frac{n - \sqrt{n} }{n + \sqrt{n} } = \frac{ \sqrt{n} - 1 }{ \sqrt{n} + 1 } $).
Возникающая волна имеет амплитуду $-tt^{ \prime}r$.
Ниже докажем, что $-tt^{ \prime} = 1 - r^{2}$. Существует также отраженная часть амплитуды $trr^{ \prime} = tr^{2}$, где $r^{ \prime}$ - коэффициент отражения для луча, падающего от покрытия к воздуху. После отражения от второй плоскости волна имеет амплитуду
$+ tt^{ \prime}r^{3} = + (1 - r^{2}) r^{3}$
Пусть $\delta$ - фаза волны после прохождения покрытия в обоих направлениях.
Тогда полная отраженная волна
$ - r - (1 - r^{2}) re^{ i \delta} + (1 - r^{2}) r^{3}e^{2 i \delta} - (1 - r^{2}) r^{5} e^{3 i \delta} \cdots \cdots = - r - (1 - r^{2} )re^{ i \delta} \frac{1}{1 + r^{2}e^{ i \delta} } = -r (1 + r^{2}e^{i \delta} + (1 - r^{2} )e^{ i \delta} ) \frac{1}{1 + r^{2}e^{i \delta} } = - r \frac{1 + e^{ i \delta } }{1 + r^{2}e^{i \delta} }$
Это исчезает, если $\delta = (2k + 1) \pi$. Но
$\delta = \frac{2 \pi}{ \lambda} 2 \sqrt{n} d$ следовательно
$d = \frac{ \lambda}{4 \sqrt{n} } (2k + 1)$
Получим $tt^{ \prime} = 1 - r^{2}$ и $r^{ \prime} = + r$. Это следует из принципа обратимости светового пути, как показано на рисунке.
$tt^{ \prime} + r^{2} = 1$
$-rt + r^{ \prime} t = 0$
$tt^{ \prime} = 1- r^{2}$
$r^{ \prime} = r$.
($- r$ - коэффициент отражения волны, входящей в более плотную среду)
Для уменьшения потерь света из-за отражения от поверхности стекла последнее покрывают тонким слоем вещества с показателем преломления $n^{ \prime} = \sqrt{n}$, где $n$ — показатель преломления стекла. В этом случае амплитуды световых колебаний, отраженных от обеих поверхностей такого слоя, будут одинаковыми. При какой толщине этого слоя отражательная способность стекла в направлении нормали будет равна нулю для света с длиной волны $\lambda$.
Решение:
Когда поверхность стекла покрыта материалом с показателем преломления $n^{ \prime} = \sqrt{n}$ ($n$ -показатель преломления стекла) соответствующей толщины, отражение является нулевым из-за интерференции между различными многократно отраженными волнами. Мы покажем это ниже.
Пусть волна единичной амплитуды падает слева. Отраженная амплитуда равна $-r$, где
$r = \frac{ \sqrt{n} - 1 }{ \sqrt{n} + 1 }$
Его фаза отрицательна поэтому записываем отраженную волну как $- r$. Передаваемая волна имеет амплитуду $t$
$t = \frac{2}{1 + \sqrt{n} }$
Эта волна отражается на второй грани и имеет амплитуду $-tr$
( так как $ \frac{n - \sqrt{n} }{n + \sqrt{n} } = \frac{ \sqrt{n} - 1 }{ \sqrt{n} + 1 } $).
Возникающая волна имеет амплитуду $-tt^{ \prime}r$.
Ниже докажем, что $-tt^{ \prime} = 1 - r^{2}$. Существует также отраженная часть амплитуды $trr^{ \prime} = tr^{2}$, где $r^{ \prime}$ - коэффициент отражения для луча, падающего от покрытия к воздуху. После отражения от второй плоскости волна имеет амплитуду
$+ tt^{ \prime}r^{3} = + (1 - r^{2}) r^{3}$
Пусть $\delta$ - фаза волны после прохождения покрытия в обоих направлениях.
Тогда полная отраженная волна
$ - r - (1 - r^{2}) re^{ i \delta} + (1 - r^{2}) r^{3}e^{2 i \delta} - (1 - r^{2}) r^{5} e^{3 i \delta} \cdots \cdots = - r - (1 - r^{2} )re^{ i \delta} \frac{1}{1 + r^{2}e^{ i \delta} } = -r (1 + r^{2}e^{i \delta} + (1 - r^{2} )e^{ i \delta} ) \frac{1}{1 + r^{2}e^{i \delta} } = - r \frac{1 + e^{ i \delta } }{1 + r^{2}e^{i \delta} }$
Это исчезает, если $\delta = (2k + 1) \pi$. Но
$\delta = \frac{2 \pi}{ \lambda} 2 \sqrt{n} d$ следовательно
$d = \frac{ \lambda}{4 \sqrt{n} } (2k + 1)$
Получим $tt^{ \prime} = 1 - r^{2}$ и $r^{ \prime} = + r$. Это следует из принципа обратимости светового пути, как показано на рисунке.
$tt^{ \prime} + r^{2} = 1$
$-rt + r^{ \prime} t = 0$
$tt^{ \prime} = 1- r^{2}$
$r^{ \prime} = r$.
($- r$ - коэффициент отражения волны, входящей в более плотную среду)
