2016-09-04
Человек, стоящий на расстоянии $h$ от длинной ровной стены, освещает её лучом фонарика, вращая фонарик в горизонтальной плоскости слева направо с постоянной угловой скоростью $\omega$. Учитывая конечность скорости распространения света $c$, найдите как с точки зрения человека будут изменяться со временем положение светового зайчика на стене и скорость его движения.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
рис.4
Если бы скорость света была бесконечно большой, то человек видел бы световое пятно в том месте, где луч фонарика пересекает стену. Из-за конечности скорости распространения света человек увидит в этом месте зайчик спустя некоторое время. В этот момент луч фонарика будет уже направлен в иную точку.
Найдём скорость зайчика с точки зрения наблюдателя:
$v = \frac{dx}{dt_{1}}$, (1)
где $v$ - проекция на ось $x$ скорости зайчика (рис. 1), который наблюдатель видит в момент времени $t_{1}$. Луч фонарика был направлен в эту точку в момент времени $t$. Время $t_{1}$ больше $t$ на величину, необходимую свету для прохождения от $A$ к $B$ и обратно (рис. 1):
$t_{1} = t + \frac{2h}{c \cdot \cos \omega t}$. (2)
Поскольку переменные $t_{1}$ и $t$ связаны соотношением (2), целесообразно представить (1) в виде:
$v = \frac{dx}{dt} \frac{dt}{dt_{1}} = \frac{dx}{dt} \left ( \frac{dt_{1}}{dt} \right )^{-1}$. (3 )
Из рисунка 1 видно, что
$x = h tg \omega t$. (4)
Продифференцировав функции (2) и (4), найдём производные, входящие в (3), и получим после их подстановки:
$v = \frac{c \omega h}{c \cdot \cos^{2} \omega t + 2 \omega h \sin \omega t}$. (5)
Формулы (4), (5) и (2) содержат ответы на поставленные в задаче вопросы. Проанализируем полученные соотношения.
Изобразим приблизительный график зависимости (2) (рис. 2). Величина $t_{1}$ имеет минимальное значение $t_{2}$ в точке $t_{m}$, для нахождения которой следует приравнять к нулю производную $t_{1}(t)$:
$\sin \omega t_{m} = \frac{ \omega h}{c} - \sqrt{ 1 + \left ( \frac{ \omega h}{c} \right )^{2} }$. (6)
По формуле (4) можно найти координату зайчика $x_{m}$ в момент времени $t_{2}$:
$x_{m} = - \frac{h}{ \sqrt{2}} \sqrt{ \sqrt{ \left ( \frac{c}{ \omega h} \right )^{2} + 1} - 1 }$. (7)
При подстановке (6) в (5) обнаруживаем, что функция $v(t)$ испытывает разрыв в точке $t_{m}$, меняя знак. Поведение функции $v(t)$ качественно представлено графиком, изображённым на рисунке 2. Сплошными линиями показан график при $\omega h < c/2$, пунктирными - при $\omega h > c/2$. Сопоставляя величины $v$ и $t_{1}$ при одинаковых значениях параметра $t$, можно нарисовать и приближённый график зависимости наблюдаемой скорости зайчика $v(t_{1}$) (рис. 4).
О каком движении светового зайчика говорят эти графики? Раньше всего наблюдатель увидит зайчик, находящийся в точке $x_{m}$ в момент времени $t_{2}$. В последующие моменты времени $t_{1} = t_{3} > t_{2}$ наблюдатель увидит два зайчика, координаты которых соответствуют точкам $a$ и $b$ на рисунке 2. Скорости этих зайчиков направлены в противоположные стороны. При $t_{1} \rightarrow \infty$ проекция скорости одного стремится к $c/2$, а другого к $-c/2$. После следующего прохождения вращающегося луча фонарика через точку $x_{m}$ появится ещё одна пара разбегающихся зайчиков и так далее.
Не является ли обнаруженное здесь парадоксальное свойство световых зайчиков результатом ошибки данной теоретической модели? Одним из тестов на ошибочность новых физических теорий служит принцип соответствия. Согласно этому принципу новая теория в предельных частных случаях даёт те же результаты, что и верная старая теория. Релятивистская физика даёт немало парадоксальных результатов, противоречащих «здравому смыслу». Однако, она успешно выдерживает испытание принципом соответствия. Испытаем этим принципом результаты данной задачи. Посмотрим, что дают полученные формулы при $c \rightarrow \infty$. Из (1) следует, что $t_{1} = t$, то есть наблюдатель видит зайчик в точке $x$ в тот же момент времени, в который через эту точку проходит луч фонарика. Из (5) следует, что $v = \frac{ \omega h}{ \cos^{2} \omega t}$. Это естественно согласуется с формулой (4) и не содержит никаких пар зайчиков. Таким образом, полученные в задаче результаты согласуются с принципом соответствия.