Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8224
2018-07-01 
Некоторое колебание возникает в результате сложения когерентных колебаний одного направления, имеющих следующий вид: $\xi_{k} = a \cos [ \omega t + (k - 1) \phi]$, где $k$ — номер колебания ($k = 1, 2, \cdots ,N$), $\phi$ — разность фаз между $k$ - м и $(k - 1)$-м колебаниями. Найти амплитуду результирующего колебания.
Решение:
Мы используем метод комплексных амплитуд. Тогда амплитуды
$A_{1} = a, A_{2} = ae^{i \phi}, \cdots A_{N} = ae^{ i( N- 1 ) \phi}$
а результирующая комплексная амплитуда
$A = A_{1} + A_{2} + \cdots A_{N} = a (1 + e^{i \phi} + e^{2i \phi} + \cdots + e^{i(N - 1) \phi }) = a \frac{1 - e^{i N \phi} }{1 - e^{i \phi} }$
Соответствующая обычная амплитуда
$|A| = a \left | \frac{1 - e^{iN \phi} }{1 - e^{i \phi} } \right | = a \left ( \frac{1 - e^{-iN \phi} }{1 - e^{-i \phi} } \frac{1 - e^{iN \phi} }{1 - e^{i \phi} } \right )^{1/2} = a \left ( \frac{2- 2 \cos N \phi }{2 - 2 \cos \phi } \right )^{1/2} = a \frac{ \sin \frac{N \phi}{2} }{ \sin \frac{ \phi}{2} }$.
Некоторое колебание возникает в результате сложения когерентных колебаний одного направления, имеющих следующий вид: $\xi_{k} = a \cos [ \omega t + (k - 1) \phi]$, где $k$ — номер колебания ($k = 1, 2, \cdots ,N$), $\phi$ — разность фаз между $k$ - м и $(k - 1)$-м колебаниями. Найти амплитуду результирующего колебания.
Решение:
Мы используем метод комплексных амплитуд. Тогда амплитуды
$A_{1} = a, A_{2} = ae^{i \phi}, \cdots A_{N} = ae^{ i( N- 1 ) \phi}$
а результирующая комплексная амплитуда
$A = A_{1} + A_{2} + \cdots A_{N} = a (1 + e^{i \phi} + e^{2i \phi} + \cdots + e^{i(N - 1) \phi }) = a \frac{1 - e^{i N \phi} }{1 - e^{i \phi} }$
Соответствующая обычная амплитуда
$|A| = a \left | \frac{1 - e^{iN \phi} }{1 - e^{i \phi} } \right | = a \left ( \frac{1 - e^{-iN \phi} }{1 - e^{-i \phi} } \frac{1 - e^{iN \phi} }{1 - e^{i \phi} } \right )^{1/2} = a \left ( \frac{2- 2 \cos N \phi }{2 - 2 \cos \phi } \right )^{1/2} = a \frac{ \sin \frac{N \phi}{2} }{ \sin \frac{ \phi}{2} }$.
