Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8222
2018-07-01 
Показать, что при сложении двух гармонических колебаний средняя по времени энергия результирующего колебания равна сумме энергий каждого из них, если оба колебания:
а) имеют одинаковое направление и некогерентны, причем все значения их разности фаз равновероятны;
б) взаимно перпендикулярны, имеют одну и ту же частоту и произвольную разность фаз.
Решение:
(а) В этом случае результирующее колебание определяется
$x = a_{1} \cos \omega t + a_{2} \cos ( \omega t + \delta)$
где $\delta$ - разность фаз между двумя колебаниями, которая быстро и хаотично изменяется в интервале $(0, 2 \pi)$. (Это то, что подразумевается под некогерентностью)
Тогда $x = (a_{1} + a_{2} \cos \delta) \cos \omega t + a_{2} \sin \delta \sin \omega t$
Суммарная энергия будет считаться пропорциональной среднему времени квадрата смещения
Таким образом, $E = \langle (a_{1} + a_{2} \cos \delta )^{2} + a_{2}^{2} \sin^{2} \delta \rangle = a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$
так как $\langle \cos \delta \rangle = 0$ положим $\langle \cos^{2} \omega t \rangle = \langle \sin^{2} \omega t \rangle = 1/2 $ и общая константа пропорциональности исчезает.
В тех же единицах энергии двух колебаний являются $a_{1}^{2}$ и $a_{2}^{2}$ соответственно, поэтому утверждение доказано.
(б) Поскольку $\vec{r} = a_{1} \cos \omega t \hat{i} + a_{2} \cos ( \omega t + \delta) \hat{j}$
и среднее квадратическое смещение равно $\alpha a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$
если $\delta$ фиксировано, но имеет произвольную разность фаз. Тогда, как и в (а), мы видим, что $E = E_{1} + E_{2}$.
Показать, что при сложении двух гармонических колебаний средняя по времени энергия результирующего колебания равна сумме энергий каждого из них, если оба колебания:
а) имеют одинаковое направление и некогерентны, причем все значения их разности фаз равновероятны;
б) взаимно перпендикулярны, имеют одну и ту же частоту и произвольную разность фаз.
Решение:
(а) В этом случае результирующее колебание определяется
$x = a_{1} \cos \omega t + a_{2} \cos ( \omega t + \delta)$
где $\delta$ - разность фаз между двумя колебаниями, которая быстро и хаотично изменяется в интервале $(0, 2 \pi)$. (Это то, что подразумевается под некогерентностью)
Тогда $x = (a_{1} + a_{2} \cos \delta) \cos \omega t + a_{2} \sin \delta \sin \omega t$
Суммарная энергия будет считаться пропорциональной среднему времени квадрата смещения
Таким образом, $E = \langle (a_{1} + a_{2} \cos \delta )^{2} + a_{2}^{2} \sin^{2} \delta \rangle = a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$
так как $\langle \cos \delta \rangle = 0$ положим $\langle \cos^{2} \omega t \rangle = \langle \sin^{2} \omega t \rangle = 1/2 $ и общая константа пропорциональности исчезает.
В тех же единицах энергии двух колебаний являются $a_{1}^{2}$ и $a_{2}^{2}$ соответственно, поэтому утверждение доказано.
(б) Поскольку $\vec{r} = a_{1} \cos \omega t \hat{i} + a_{2} \cos ( \omega t + \delta) \hat{j}$
и среднее квадратическое смещение равно $\alpha a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$
если $\delta$ фиксировано, но имеет произвольную разность фаз. Тогда, как и в (а), мы видим, что $E = E_{1} + E_{2}$.
