Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8220
2018-07-01 
При распространении света в изотропной среде с медленно изменяющимся от точки к точке показателем преломления $n$ радиус кривизны $\rho$ луча определяется формулой
$\frac{1}{ \rho } = \frac{ \partial }{ \partial N} (ln n)$,
где производная берется по направлению главной нормали к лучу. Получить эту формулу, имея в виду, что в такой среде справедлив закон преломления $n \sin \theta = const$, где $\theta$ — угол между лучом и направлением $grad n$ в данной точке.
Решение:
Рассмотрим лучи QPR в среде с постепенно изменяющимся показателем преломления $n$. В точке P градиент $n$ является вектором с заданным направлением, в соседних точках $Q, R$. Длина дуги QR равна $ds$. Мы используем формулу Снеллиуса $n \sin \theta = const$, где $\theta$ следует измерить в направлении $\vec{ \nabla} n$. Показатели преломления в $Q, R$, где середина точка Р равна
$\eta \pm \frac{1}{2} | \nabla \eta | d \theta \cos \theta$
так что $\left ( \eta - \frac{1}{2} | \nabla n | d \theta \cos \theta \right ) \left ( \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta d \theta \right ) = \left ( \eta + \frac{1}{2} | \nabla n | d \theta \cos \theta \right ) \left ( \sin \theta - \frac{1}{2} \cos \theta d \theta \right )$ или $n \cos \theta d \theta = | \nabla n | ds \cos \theta \sin \theta$
(здесь мы использовали $\sin \left ( \theta \pm \frac{1}{2}d \theta \right ) = \sin \theta \pm \frac{1}{2} \cos \theta d \theta$)
Теперь, используя определение радиуса кривизны $\frac{1}{ \rho} = \frac{d \theta}{ds}$
$\frac{1}{ \rho} = \frac{1}{ \eta} | \nabla n | \sin \theta$
Виличину $| \nabla n | \sin \theta$ - можно назвать, $\frac{ \delta n}{ \delta N}$ т. е. производной от $n$ по нормали $N$ до луч. Тогда
$\frac{1}{ \rho} = \frac{ \delta}{ \delta N} ln n$.
При распространении света в изотропной среде с медленно изменяющимся от точки к точке показателем преломления $n$ радиус кривизны $\rho$ луча определяется формулой
$\frac{1}{ \rho } = \frac{ \partial }{ \partial N} (ln n)$,
где производная берется по направлению главной нормали к лучу. Получить эту формулу, имея в виду, что в такой среде справедлив закон преломления $n \sin \theta = const$, где $\theta$ — угол между лучом и направлением $grad n$ в данной точке.
Решение:
Рассмотрим лучи QPR в среде с постепенно изменяющимся показателем преломления $n$. В точке P градиент $n$ является вектором с заданным направлением, в соседних точках $Q, R$. Длина дуги QR равна $ds$. Мы используем формулу Снеллиуса $n \sin \theta = const$, где $\theta$ следует измерить в направлении $\vec{ \nabla} n$. Показатели преломления в $Q, R$, где середина точка Р равна
$\eta \pm \frac{1}{2} | \nabla \eta | d \theta \cos \theta$
так что $\left ( \eta - \frac{1}{2} | \nabla n | d \theta \cos \theta \right ) \left ( \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta d \theta \right ) = \left ( \eta + \frac{1}{2} | \nabla n | d \theta \cos \theta \right ) \left ( \sin \theta - \frac{1}{2} \cos \theta d \theta \right )$ или $n \cos \theta d \theta = | \nabla n | ds \cos \theta \sin \theta$
(здесь мы использовали $\sin \left ( \theta \pm \frac{1}{2}d \theta \right ) = \sin \theta \pm \frac{1}{2} \cos \theta d \theta$)
Теперь, используя определение радиуса кривизны $\frac{1}{ \rho} = \frac{d \theta}{ds}$
$\frac{1}{ \rho} = \frac{1}{ \eta} | \nabla n | \sin \theta$
Виличину $| \nabla n | \sin \theta$ - можно назвать, $\frac{ \delta n}{ \delta N}$ т. е. производной от $n$ по нормали $N$ до луч. Тогда
$\frac{1}{ \rho} = \frac{ \delta}{ \delta N} ln n$.
