2016-09-04
Человек, стоя на краю высокого обрыва, смотрит на ровное плоское дно котлована шириной $L$, заполненного водой глубиной $h$ (рис.). Высота обрыва $H$. Размеры котлована удовлетворяют неравенствам: $L \gg H \gg h$. Показатель преломления воды равен $n$. Как зависит от расстояния до обрыва видимая глубина котлована?
Решение:
рис.1
рис.2
Человек, находящийся в точке $A$ (рис. 1), оценивает глубину водоёма по двум близким лучам, идущим из точек $B$ и $C$. Ему кажется, что лучи исходят не из точки $S$, а из точки $S_{1}$, и поэтому видимая глубина водоёма $h_{1}$. Изменения направлений лучей на поверхности воды подчиняются закону Снеллиуса:
$\frac{\sin \alpha}{ \sin \beta} = n, \frac{ \sin \alpha^{ \prime}}{ \sin \beta^{ \prime}} = n$ (1)
где $n$ - показатель преломления воды, а углы $\alpha, \beta, \alpha^{ \prime}$ и $\beta^{ \prime}$ показаны на рисунке 2. Пусть $\Delta$ - длина отрезка $BC$. Тогда из прямоугольных треугольников, показанных на рисунке 2, следует:
$\Delta = h(tg \beta — tg \beta^{ \prime}) = h_{1}(tg \alpha — tg \alpha^{ \prime})$. (2)
Поскольку углы $\alpha$ и $\alpha^{ \prime}$, $\beta$ и $\beta^{ \prime}$ мало отличаются, то если $\alpha - \alpha^{ \prime} = \Delta \alpha$ и $\beta - \beta^{ \prime} = \Delta \beta$
$tg \beta – tg \beta^{ \prime} \approx \frac{ \Delta \beta}{ \cos^{2} \beta}, tg \alpha – tg \alpha^{ \prime} \approx \frac{ \Delta \alpha}{\cos^{2} \alpha}$.
Подставляя полученные соотношения в (2), находим
$h_{1} = h \frac{ \cos^{2} \alpha}{ \cos^{2} \beta} \cdot \frac{ \Delta \beta}{ \Delta \alpha}$.
Записывая закон Снеллиуса (1) для маленьких приращений углов:
$\cos \alpha \Delta \alpha = n \cos \beta \Delta \beta$, откуда $h_{1} = \frac{h}{n} \cdot \frac{\cos^{3} \alpha}{ \cos^{3} \beta} = \frac{h}{n} \cdot \frac{ \cos^{3} \alpha}{ \left ( 1 - \frac{ \sin^{2} \alpha}{n^{2}} \right )^{3/2} }$. (3)
Для угла $\alpha$ из рисунка 2 находим
$\sin \alpha = \frac{x – OB}{ \sqrt{(x- OB)^{2} + H^{2}}} \approx \frac{x}{ \sqrt{x^{2} + H^{2}}}$,
так как $OB \ll x$ при малых $h$. Осталось подставить полученное выражение для $\sin \alpha$ в (3) и произвести алгебраические преобразования:
$h_{1} = \frac{ n^{2}hH^{3}}{ ((n^{2} – 1)x^{2} + n^{2}H^{2})^{3/2}}$.
График этой зависимости, построенный с помощью МаthCAD, представлен на рисунке 2. Видно, что вдали от обрыва водоём кажется более мелким.