Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 821
2016-09-04 
Два плоских зеркала образуют двугранный угол, равный $90^{ \circ}$. Собирающая линза с фокусным расстоянием $F$ вставлена в угол так, что её главная оптическая ось составляет угол $45^{ \circ}$ с каждым зеркалом. Диаметр линзы равен $2F$. На главной оптической оси линзы на расстоянии $d = 1,5F$ от линзы находится источник света $S$. Найдите положение изображения источника света.
Решение:
рис.1
рис.2
Свет сначала проходит сквозь линзу, затем отражается от пары зеркал и снова проходит сквозь линзу в обратном направлении. Найдём положения изображений источника, которые получились бы последовательно на каждом из этих этапов. Расстояние $d_{1}$ от изображения $S_{1}$ источника $S$ (рис. 1) находится из формулы линзы:
$\frac{1}{1,5F} + \frac{1}{d_{1}} = \frac{1}{F}, d_{1} = 3F$.
Далее следует найти даваемое зеркалами изображение мнимого источника $S_{1}$. Известно, что зеркало даёт изображение, симметричное источнику относительно плоскости зеркала. Это свойство зеркала следует из закона отражения и относится как к действительным, так и к мнимым источникам. Этим свойством и следует воспользоваться. На рисунке 2 показаны: $S_{2}$ - изображение точки $S_{1}$ в зеркале $AC, S_{3}$ - изображение точки $S_{2}$ в зеркале $BC$. Из определения зеркальной симметрии следует: $S_{1}D = DS_{2} = BC, S_{2}B = BS_{3} = AC$. Из условия задачи следует, что $AO = OC = OB = F$. Кроме того, найдено что $OS_{1} = d_{1} = 3F$. Отсюда нетрудно заключить, что $CS_{3} = CS_{1}$. Итак, изображение $S_{3}$ находится на расстоянии $F$ от оптического центра линзы. На следующем этапе $S_{3}$ - мнимый предмет для линзы. Изображением этого предмета является искомая точка. Обозначим её расстояние от центра линзы 3 и применим для её нахождения формулу линзы:
$\frac{1}{d} - \frac{1}{F} = \frac{1}{F}$.
Знак минус перед вторым слагаемым поставлен потому, что источник $S_{3}$, удалённый от линзы на расстояние $F$ мнимый. Из последнего уравнения получаем $d = F/24.
Замечание. Лучи, идущие в плоскости рисунка 2, в результате последовательного отражения от двух расположенных перпендикулярно друг другу зеркал, не меняют своего направления (то есть далее распространяются параллельно направлению, которое они имели до первого отражения). Следовательно, если луч составлял малый угол с главной оптической осью линзы, то этот угол и останется малым. А проекцию направления лучей, перпендикулярную плоскости рисунка, зеркала, сами расположенные перпендикулярно плоскости рисунка, не меняют. Поэтому пучок лучей, имевших малые углы с главной оптической осью линзы, после двух последовательных отражений от зеркал, также будет состоять из лучей, имеющих малые углы с этой оптической осью, и применение формулы тонкой линзы для расчёта координат изображения, даваемого этим пучком после прохождения через линзу, является обоснованным.
Два плоских зеркала образуют двугранный угол, равный $90^{ \circ}$. Собирающая линза с фокусным расстоянием $F$ вставлена в угол так, что её главная оптическая ось составляет угол $45^{ \circ}$ с каждым зеркалом. Диаметр линзы равен $2F$. На главной оптической оси линзы на расстоянии $d = 1,5F$ от линзы находится источник света $S$. Найдите положение изображения источника света.
Решение:
рис.1
рис.2
Свет сначала проходит сквозь линзу, затем отражается от пары зеркал и снова проходит сквозь линзу в обратном направлении. Найдём положения изображений источника, которые получились бы последовательно на каждом из этих этапов. Расстояние $d_{1}$ от изображения $S_{1}$ источника $S$ (рис. 1) находится из формулы линзы:
$\frac{1}{1,5F} + \frac{1}{d_{1}} = \frac{1}{F}, d_{1} = 3F$.
Далее следует найти даваемое зеркалами изображение мнимого источника $S_{1}$. Известно, что зеркало даёт изображение, симметричное источнику относительно плоскости зеркала. Это свойство зеркала следует из закона отражения и относится как к действительным, так и к мнимым источникам. Этим свойством и следует воспользоваться. На рисунке 2 показаны: $S_{2}$ - изображение точки $S_{1}$ в зеркале $AC, S_{3}$ - изображение точки $S_{2}$ в зеркале $BC$. Из определения зеркальной симметрии следует: $S_{1}D = DS_{2} = BC, S_{2}B = BS_{3} = AC$. Из условия задачи следует, что $AO = OC = OB = F$. Кроме того, найдено что $OS_{1} = d_{1} = 3F$. Отсюда нетрудно заключить, что $CS_{3} = CS_{1}$. Итак, изображение $S_{3}$ находится на расстоянии $F$ от оптического центра линзы. На следующем этапе $S_{3}$ - мнимый предмет для линзы. Изображением этого предмета является искомая точка. Обозначим её расстояние от центра линзы 3 и применим для её нахождения формулу линзы:
$\frac{1}{d} - \frac{1}{F} = \frac{1}{F}$.
Знак минус перед вторым слагаемым поставлен потому, что источник $S_{3}$, удалённый от линзы на расстояние $F$ мнимый. Из последнего уравнения получаем $d = F/24.
Замечание. Лучи, идущие в плоскости рисунка 2, в результате последовательного отражения от двух расположенных перпендикулярно друг другу зеркал, не меняют своего направления (то есть далее распространяются параллельно направлению, которое они имели до первого отражения). Следовательно, если луч составлял малый угол с главной оптической осью линзы, то этот угол и останется малым. А проекцию направления лучей, перпендикулярную плоскости рисунка, зеркала, сами расположенные перпендикулярно плоскости рисунка, не меняют. Поэтому пучок лучей, имевших малые углы с главной оптической осью линзы, после двух последовательных отражений от зеркал, также будет состоять из лучей, имеющих малые углы с этой оптической осью, и применение формулы тонкой линзы для расчёта координат изображения, даваемого этим пучком после прохождения через линзу, является обоснованным.
