Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 820
2016-09-04 
Вблизи длинного прямолинейного провода, по которому течёт ток $I$, поместили частицу с зарядом $q$ и массой $m$ на расстоянии $r_{0}$ от провода и сообщили ей скорость $v_{0}$, направленную против тока.
1. Найдите минимальное $r_{min}$ и максимальное $r_{max}$ расстояния частицы от провода в процессе движения. На каком расстоянии от провода скорость частицы направлена перпендикулярно к нему?
2. Найдите скорость $\vec{u}$ дрейфа частицы, то есть скорость смещения вдоль провода максимально и минимально удалённых от него точек траектории при условии
$\alpha = 2 \pi \frac{mv_{0}}{ \mu_{0} qI} \ll 1$,
где $\mu_{0}$ - магнитная постоянная.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
На движущуюся заряженную частицу вблизи провода с током действует сила Лоренца. Силовые линии магнитного поля тока представляют собой перпендикулярные к току окружности, центры которых лежат на проводе. Модуль индукции магнитного поля находится по формуле:
$B = \frac{ \mu_{0}I}{2 \pi r}$, (1)
где $r$ - расстояние от точки поля до провода.
На рисунке 1 показаны соответствующие первому пункту задачи направления тока, текущего в проводнике, начальная скорость частицы $\vec{v}_{0}$, скорость $\vec{v}$ в произвольный момент времени, направление индукции магнитного поля $\vec{B}$, а также сила Лоренца $\vec{F}$. Поскольку векторы $\vec{v}$ и $\vec{F}$ лежат в одной плоскости, траектория движения лежит в плоскости $xy$ декартовой системы координат, указанной на рисунке 1. Запишем уравнение движения частицы в проекции на ось $y$. При этом учтём, что проекция силы Лоренца $F_{y} = -q \dot{x}B$, где точка над символом обозначает производную по времени Уравнение движения принимает вид:
$m \ddot{y} = -q \dot{x} B$, или $m \ddot{y} + \frac{ \mu_{0} q I \dot{r}}{2 \pi r} = 0$.
Интегрируем это уравнение с учётом того, что при $t = 0$ производная $\dot{y} = v_{0}$, а $r = r_{0}$:
$\dot{y} = v_{0} - \frac{ \mu_{0} qI}{2 \pi m} ln \frac{r}{r_{0}}$. (2)
Поскольку сила Лоренца не меняет модуль скорости, то при минимальном расстоянии $r = r_{min}$ величина $\dot{y} = v_{0}$, а при максимальном $r = r_{max}$ проекция скорости $\dot{y} = -v_{0}$ (рис.2). Поэтому из (2) получаем
$r_{min} = r, r_{max} = r_{0} exp \left ( \frac{4 \pi mv_{0}}{\mu_{0} qI} \right )$.
Когда скорость частицы перпендикулярна проводу, производная $\dot{y} = 0$. В этом случае формула (2) даёт
$r = R = r_{0} exp \left ( \frac{2 \pi mv_{0}}{ \mu_{0} qI} \right )$. (3)
Во втором пункте требуется найти скорость дрейфа. Какой смысл вкладывается в этот термин? Если
$\frac{r_{max} - r_{min}}{r_{min}} \ll 1$,
то есть величина $\alpha \ll 1$, то приближённо можно пренебречь неоднородностью магнитного поля. Поэтому в этих условиях движение частицы мало отличается от движения по окружности радиусом
$R_{0} = \frac{r_{max} - r_{min}}{2}$
с угловой скоростью
$\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{qB}{m} = \frac{q}{m} \cdot \frac{ \mu_{0}I}{2 \pi r} = \frac{v_{0}}{ \alpha r}$
Величину $R_{0}$ называют циклотронным радиусом, а $\omega$ - циклотронной частотой. Центр орбиты частицы всё время находится на расстоянии $R(3)$ от провода. Неоднородность магнитного поля искажает движение по круговой орбите: циклотронный кружок как бы медленно смещается вдоль оси $y$, дрейфует. Скорость этого дрейфа и требуется определить в задаче. Для этого нужно поделить смещение частицы вдоль оси $y$ за период на это время:
$u_{y} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \dot{y} dt = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v_{0} \cos \phi dt$, (4)
где $\phi$ - угол, который образует скорость $\vec{v}$ с осью $y$. Для нахождения зависимости этого угла от времени обратимся к уравнению (2), переписав его следующим образом:
$r = r_{0} exp( \alpha (1 - \cos \phi))$.
Продифференцируем это уравнение по времени:
$\dot{r} = v_{0} \sin \phi = (\alpha r_{0} exp( \alpha(1 - \cos \phi)) \sin \phi ) \dot{ \phi}$.
Подставим выраженную отсюда величину $dt$ в (4) и учтём малость $\alpha$:
$u_{y} = \frac{1}{T} \int_{0}^{2 \pi} v_{0} \frac{ \alpha r_{0} exp( \alpha (1 - \cos \phi)) \sin \phi \cos \phi d \phi}{v_{0} \sin \phi} \approx \frac{1}{T} \int_{0}^{2 \pi} \alpha r_{0} \cos \phi ( 1 + \alpha (1 - \cos \phi)) d \phi = - \frac{ \pi mv_{0}^{2}}{ \mu_{0} qI}$
Итак, скорость дрейфа
$u = \frac{ \pi mv_{0}^{2}}{ \mu_{0} qI}$
и направлена вдоль тока.
На рисунке 2 показана построенная с помощью системы компьютерной математики МаthCAD траектория частицы в условиях данной задачи. На рисунке 3 приведена полученная аналогичным образом траектория движения частицы вблизи провода при условии, что её начальная скорость не лежит в одной плоскости с током и что ток монотонно меняется со временем. Видно, что модель дрейфа циклотронных кружков даёт наглядное представление о характере движения. Эта модель широко используется в физике плазмы и не только для наглядности, но и для получения количественных результатов.
Вблизи длинного прямолинейного провода, по которому течёт ток $I$, поместили частицу с зарядом $q$ и массой $m$ на расстоянии $r_{0}$ от провода и сообщили ей скорость $v_{0}$, направленную против тока.
1. Найдите минимальное $r_{min}$ и максимальное $r_{max}$ расстояния частицы от провода в процессе движения. На каком расстоянии от провода скорость частицы направлена перпендикулярно к нему?
2. Найдите скорость $\vec{u}$ дрейфа частицы, то есть скорость смещения вдоль провода максимально и минимально удалённых от него точек траектории при условии
$\alpha = 2 \pi \frac{mv_{0}}{ \mu_{0} qI} \ll 1$,
где $\mu_{0}$ - магнитная постоянная.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
На движущуюся заряженную частицу вблизи провода с током действует сила Лоренца. Силовые линии магнитного поля тока представляют собой перпендикулярные к току окружности, центры которых лежат на проводе. Модуль индукции магнитного поля находится по формуле:
$B = \frac{ \mu_{0}I}{2 \pi r}$, (1)
где $r$ - расстояние от точки поля до провода.
На рисунке 1 показаны соответствующие первому пункту задачи направления тока, текущего в проводнике, начальная скорость частицы $\vec{v}_{0}$, скорость $\vec{v}$ в произвольный момент времени, направление индукции магнитного поля $\vec{B}$, а также сила Лоренца $\vec{F}$. Поскольку векторы $\vec{v}$ и $\vec{F}$ лежат в одной плоскости, траектория движения лежит в плоскости $xy$ декартовой системы координат, указанной на рисунке 1. Запишем уравнение движения частицы в проекции на ось $y$. При этом учтём, что проекция силы Лоренца $F_{y} = -q \dot{x}B$, где точка над символом обозначает производную по времени Уравнение движения принимает вид:
$m \ddot{y} = -q \dot{x} B$, или $m \ddot{y} + \frac{ \mu_{0} q I \dot{r}}{2 \pi r} = 0$.
Интегрируем это уравнение с учётом того, что при $t = 0$ производная $\dot{y} = v_{0}$, а $r = r_{0}$:
$\dot{y} = v_{0} - \frac{ \mu_{0} qI}{2 \pi m} ln \frac{r}{r_{0}}$. (2)
Поскольку сила Лоренца не меняет модуль скорости, то при минимальном расстоянии $r = r_{min}$ величина $\dot{y} = v_{0}$, а при максимальном $r = r_{max}$ проекция скорости $\dot{y} = -v_{0}$ (рис.2). Поэтому из (2) получаем
$r_{min} = r, r_{max} = r_{0} exp \left ( \frac{4 \pi mv_{0}}{\mu_{0} qI} \right )$.
Когда скорость частицы перпендикулярна проводу, производная $\dot{y} = 0$. В этом случае формула (2) даёт
$r = R = r_{0} exp \left ( \frac{2 \pi mv_{0}}{ \mu_{0} qI} \right )$. (3)
Во втором пункте требуется найти скорость дрейфа. Какой смысл вкладывается в этот термин? Если
$\frac{r_{max} - r_{min}}{r_{min}} \ll 1$,
то есть величина $\alpha \ll 1$, то приближённо можно пренебречь неоднородностью магнитного поля. Поэтому в этих условиях движение частицы мало отличается от движения по окружности радиусом
$R_{0} = \frac{r_{max} - r_{min}}{2}$
с угловой скоростью
$\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{qB}{m} = \frac{q}{m} \cdot \frac{ \mu_{0}I}{2 \pi r} = \frac{v_{0}}{ \alpha r}$
Величину $R_{0}$ называют циклотронным радиусом, а $\omega$ - циклотронной частотой. Центр орбиты частицы всё время находится на расстоянии $R(3)$ от провода. Неоднородность магнитного поля искажает движение по круговой орбите: циклотронный кружок как бы медленно смещается вдоль оси $y$, дрейфует. Скорость этого дрейфа и требуется определить в задаче. Для этого нужно поделить смещение частицы вдоль оси $y$ за период на это время:
$u_{y} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \dot{y} dt = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v_{0} \cos \phi dt$, (4)
где $\phi$ - угол, который образует скорость $\vec{v}$ с осью $y$. Для нахождения зависимости этого угла от времени обратимся к уравнению (2), переписав его следующим образом:
$r = r_{0} exp( \alpha (1 - \cos \phi))$.
Продифференцируем это уравнение по времени:
$\dot{r} = v_{0} \sin \phi = (\alpha r_{0} exp( \alpha(1 - \cos \phi)) \sin \phi ) \dot{ \phi}$.
Подставим выраженную отсюда величину $dt$ в (4) и учтём малость $\alpha$:
$u_{y} = \frac{1}{T} \int_{0}^{2 \pi} v_{0} \frac{ \alpha r_{0} exp( \alpha (1 - \cos \phi)) \sin \phi \cos \phi d \phi}{v_{0} \sin \phi} \approx \frac{1}{T} \int_{0}^{2 \pi} \alpha r_{0} \cos \phi ( 1 + \alpha (1 - \cos \phi)) d \phi = - \frac{ \pi mv_{0}^{2}}{ \mu_{0} qI}$
Итак, скорость дрейфа
$u = \frac{ \pi mv_{0}^{2}}{ \mu_{0} qI}$
и направлена вдоль тока.
На рисунке 2 показана построенная с помощью системы компьютерной математики МаthCAD траектория частицы в условиях данной задачи. На рисунке 3 приведена полученная аналогичным образом траектория движения частицы вблизи провода при условии, что её начальная скорость не лежит в одной плоскости с током и что ток монотонно меняется со временем. Видно, что модель дрейфа циклотронных кружков даёт наглядное представление о характере движения. Эта модель широко используется в физике плазмы и не только для наглядности, но и для получения количественных результатов.
