ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-01   
Источник света находится на расстоянии $l = 90 см$ от экрана. Тонкая собирающая линза, помещенная между источником света и экраном, дает четкое изображение источника при двух положениях. Определить фокусное расстояние линзы, если:
а) расстояние между обоими положениями линзы $\Delta l = 30 см$;
б) поперечные размеры изображения при одном положении линзы в $\eta = 4,0$ раза больше, чем при другом.


Решение:


Расстояние между объектом и изображением равно $l$. Пусть $x$ - расстояние между объектом и линзой. Тогда, поскольку изображение реально, мы имеем: $u = - x, v = l - x$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{l - x} = \frac{1}{f}$

или $x(l - x) = lf$ или $x^{2} - xl + lf = 0$

Решив, получим корни

$x = \frac{1}{2} [l \pm \sqrt{l^{2} - 4f }]$

($l > 4f$ для вещественных корней.)

(a) Если расстояние между двумя положениями линзы $\Delta l $, то, очевидно, $\Delta l = x_{2} - x_{1}$ = разность между корнями $= \sqrt{l^{2} - 4lf}$

тогда $f = \frac{l^{2} - \Delta l^{2} }{2l} = 20 см$.

(б) Два корня являются сопряженными (в обоих случаях). Таким образом, увеличение

$- \frac{l + \sqrt{l^{2} - 4lf } }{ l - \sqrt{l^{2} - 4lf } }$ (увиличение) и $- \frac{l - \sqrt{l^{2} - 4lf } }{ l + \sqrt{l^{2} - 4lf } }$ (уменьшение).

Соотношение этих величин $\eta$ равно

$\frac{l - \sqrt{l^{2} - 4lf } }{ l - \sqrt{l^{2} - 4lf } } = \sqrt{ \eta} $ или $\frac{ \sqrt{l^{2} - 4lf } }{l} = \frac{ \sqrt{ \eta} - 1 }{ \sqrt{ \eta} + 1 }$

или $1 - \frac{4f}{l} = \left ( \frac{ \sqrt{ \eta} - 1 }{ \sqrt{n} + 1 } \right )^{2} = 1 - 4 \frac{ \sqrt{ \eta} }{(1+ \sqrt{ \eta} )^{2} }$

Следовательно $f = l \frac{ \sqrt{ \eta} }{(1 + \sqrt{ \eta} )^{2} } = 20 см$.