Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8190
2018-07-01 
Перед выпуклой поверхностью стеклянной выпукло-плоской линзы толщины $d = 9,0 см$ находится предмет. Изображение этого предмета образуется на плоской поверхности линзы, которая - служит экраном. Определить:
а) поперечное увеличение, если радиус кривизны выпуклой поверхности линзы $R = 2,5 см$;
б) освещенность изображения, если яркость предмета $L = 7700 кд/м^{2}$ и диаметр входного отверстия выпуклой поверхности линзы $D = 5,0 мм$; потери света пренебрежимо малы.
Решение:
(а) На рисунке показано формирование изображения источника S, размещенного на расстоянии $u$ от фокуса выпуклой поверхности плосковыпуклой линзы толщиной $d$.
Применяя формулу для преломления через сферическую поверхность, получим
$\frac{n}{s^{ \prime} } - \frac{1}{s} = (n - 1)/R$, (где $n_{2} + n$ и $n_{1} = 1$ )
или, $\frac{n}{d} - \frac{1}{s} = \frac{n - 1}{R}$ или, $\frac{1}{s} = \frac{n}{d} - \frac{n - 1}{R}$
или, $\frac{s^{ \prime} }{s} = s^{ \prime} \left ( \frac{n}{d} - \frac{( n - 1)}{R} \right )$
Но в этом случае оптический путь света, соответствующий расстоянию $\nu$ в среде, равен $\nu / n$, поэтому полученное увеличение будет,
$\beta = \frac{s^{ \prime} }{ns} = \frac{s^{ \prime} }{n} \left ( \frac{n}{d} - \frac{n - 1}{R} \right ) = \frac{d}{n} \left ( \frac{n}{d} - \frac{n - 1}{R} \right ) = 1 - \frac{d(n-1)}{nR}$
Подставляя значения, получаем увеличение $\beta = - 0,20$.
(б) Если поперечная площадь объекта равна $A$ (предполагается малой), площадь изображения равна $\beta^{2}A$.
Будем считать, что $\frac{ \pi D^{2} }{4} > A$. Тогда свет, падающий на линзу, равен: $LA \frac{ \pi D^{2}/4 }{s^{2} }$
из определения яркости, $\cos \theta \approx 1$, если $D^{2} \ll s^{2}$ и $d \Omega = \frac{ \pi D^{2}/ 4 }{s^{2} }$. Тогда освещенность изображения
$LA \frac{ \frac{ \pi D^{2} / 4 }{s^{2} }}{ \beta^{2}A } = \frac{ L n^{2} \pi D^{2} }{4d^{2} }$
Подстановка дает $42 люкс$.
Перед выпуклой поверхностью стеклянной выпукло-плоской линзы толщины $d = 9,0 см$ находится предмет. Изображение этого предмета образуется на плоской поверхности линзы, которая - служит экраном. Определить:
а) поперечное увеличение, если радиус кривизны выпуклой поверхности линзы $R = 2,5 см$;
б) освещенность изображения, если яркость предмета $L = 7700 кд/м^{2}$ и диаметр входного отверстия выпуклой поверхности линзы $D = 5,0 мм$; потери света пренебрежимо малы.
Решение:
(а) На рисунке показано формирование изображения источника S, размещенного на расстоянии $u$ от фокуса выпуклой поверхности плосковыпуклой линзы толщиной $d$.
Применяя формулу для преломления через сферическую поверхность, получим
$\frac{n}{s^{ \prime} } - \frac{1}{s} = (n - 1)/R$, (где $n_{2} + n$ и $n_{1} = 1$ )
или, $\frac{n}{d} - \frac{1}{s} = \frac{n - 1}{R}$ или, $\frac{1}{s} = \frac{n}{d} - \frac{n - 1}{R}$
или, $\frac{s^{ \prime} }{s} = s^{ \prime} \left ( \frac{n}{d} - \frac{( n - 1)}{R} \right )$
Но в этом случае оптический путь света, соответствующий расстоянию $\nu$ в среде, равен $\nu / n$, поэтому полученное увеличение будет,
$\beta = \frac{s^{ \prime} }{ns} = \frac{s^{ \prime} }{n} \left ( \frac{n}{d} - \frac{n - 1}{R} \right ) = \frac{d}{n} \left ( \frac{n}{d} - \frac{n - 1}{R} \right ) = 1 - \frac{d(n-1)}{nR}$
Подставляя значения, получаем увеличение $\beta = - 0,20$.
(б) Если поперечная площадь объекта равна $A$ (предполагается малой), площадь изображения равна $\beta^{2}A$.
Будем считать, что $\frac{ \pi D^{2} }{4} > A$. Тогда свет, падающий на линзу, равен: $LA \frac{ \pi D^{2}/4 }{s^{2} }$
из определения яркости, $\cos \theta \approx 1$, если $D^{2} \ll s^{2}$ и $d \Omega = \frac{ \pi D^{2}/ 4 }{s^{2} }$. Тогда освещенность изображения
$LA \frac{ \frac{ \pi D^{2} / 4 }{s^{2} }}{ \beta^{2}A } = \frac{ L n^{2} \pi D^{2} }{4d^{2} }$
Подстановка дает $42 люкс$.
