Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 819
2016-09-04 
Введём в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$ полупроводниковую пластинку толщиной $a$ (рис.), по которой течёт ток $I$. Между поверхностями $A$ и $B$ возникает напряжение $U$, пропорциональное току $I$:
$U = R \frac{BI}{a}$.
Описанное явление называют эффектом Холла. Величина $R$ - коэффициент Холла. Определите коэффициент Холла в электронно-дырочном полупроводнике.
Ток в таком проводнике обусловлен как электронами, концентрация которых $n$, подвижность $\mu_{n}$, так и дырками, концентрация которых $p$, а подвижность $\mu_{p}$. Напомним, что подвижностью называют отношение скорости направленного движения частиц к вызывающей это движение силе, приходящейся на их единичный заряд.
Решение:
Вначале выясним почему возникает холловская разность потенциалов. На рисунке показаны направление магнитного поля $\vec{B}$, направление тока $I$, соответствующие ему направления движения положительных (дырок) и отрицательных (электронов) носителей зарядов. Магнитное поле искривляет траекторию движения носителей зарядов, как это показано на рисунке. Из-за различия потоков электронов и дырок на поверхности $A$ собираются положительные заряды, а на поверхности $B$ отрицательные. Возникает напряжение $\phi_{A} - \phi_{B} = U$, создающее поперечную напряжённость электрического поля $E_{ \perp} = U/b$, препятствующую дальнейшему оседанию зарядов на поверхностях (рис.). В стационарном состоянии поток электронов к пластине должен быть равен потоку дырок:
$n \cdot v_{ \perp}^{n} = p \cdot v_{ \perp}^{p}$, (1)
где $v_{ \perp}^{n}$ и $v_{ \perp}^{p}$ - перпендикулярные к граням $A$ и $B$ составляющие скорости электронов и дырок. Эти составляющие обусловлены как силой Лоренца, так и поперечной к пластинам напряжённостью электрического поля $E_{ \perp}$, создаваемого зарядами пластин:
$v_{ \perp}^{n} = \mu_{n} (v_{n}B + E_{ \perp}) = \mu_{n}^{2} EB + E_{ \perp} \mu_{n}$, (2)
$v_{ \perp}^{p} = \mu_{p} (v_{p}B - E_{ \perp}) = \mu_{p}^{2} EB - E_{ \perp} \mu_{p}$, (3)
Здесь $E$ - составляющая напряжённости электрического поля вдоль тока $I$. Она определяет скорость движения носителей вдоль пластин:
$v_{n} = \mu_{n}E, v_{p} = \mu_{p}E$.
Эти скорости обеспечивают ток $I$:
$I = e(nv_{n} + pv_{p})ab = eE(n \mu_{n} + p \mu_{p})ab$, (4)
где $e$ - элементарный заряд, $b$ - ширина пластины. Подставляем (2) и (3) в (1):
$EB( \mu_{p}^{2}p - \mu_{n}^{2}n) = E_{ \perp} ( \mu_{n}n + \mu_{p}p)$.
Величина $E_{ \perp} = U/b$, а $E$ определяется равенством (4). Учитывая это, получим:
$U = \frac{BI}{a} \cdot \frac{ \mu_{p}^{2}p - \mu_{n}^{2}n}{e( \mu_{n}n + \mu_{p}p)}$.
Откуда
$R = \frac{ \mu_{p}^{2}p - \mu_{n}^{2}n}{e( \mu_{n}n + \mu_{p}p)}$.
Знак коэффициента Холла определяет тип проводимости полупроводника: для полупроводника с дырочной проводимостью $R > 0$, для электронного $R < 0$.
Введём в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$ полупроводниковую пластинку толщиной $a$ (рис.), по которой течёт ток $I$. Между поверхностями $A$ и $B$ возникает напряжение $U$, пропорциональное току $I$:
$U = R \frac{BI}{a}$.
Описанное явление называют эффектом Холла. Величина $R$ - коэффициент Холла. Определите коэффициент Холла в электронно-дырочном полупроводнике.
Ток в таком проводнике обусловлен как электронами, концентрация которых $n$, подвижность $\mu_{n}$, так и дырками, концентрация которых $p$, а подвижность $\mu_{p}$. Напомним, что подвижностью называют отношение скорости направленного движения частиц к вызывающей это движение силе, приходящейся на их единичный заряд.
Решение:
Вначале выясним почему возникает холловская разность потенциалов. На рисунке показаны направление магнитного поля $\vec{B}$, направление тока $I$, соответствующие ему направления движения положительных (дырок) и отрицательных (электронов) носителей зарядов. Магнитное поле искривляет траекторию движения носителей зарядов, как это показано на рисунке. Из-за различия потоков электронов и дырок на поверхности $A$ собираются положительные заряды, а на поверхности $B$ отрицательные. Возникает напряжение $\phi_{A} - \phi_{B} = U$, создающее поперечную напряжённость электрического поля $E_{ \perp} = U/b$, препятствующую дальнейшему оседанию зарядов на поверхностях (рис.). В стационарном состоянии поток электронов к пластине должен быть равен потоку дырок:
$n \cdot v_{ \perp}^{n} = p \cdot v_{ \perp}^{p}$, (1)
где $v_{ \perp}^{n}$ и $v_{ \perp}^{p}$ - перпендикулярные к граням $A$ и $B$ составляющие скорости электронов и дырок. Эти составляющие обусловлены как силой Лоренца, так и поперечной к пластинам напряжённостью электрического поля $E_{ \perp}$, создаваемого зарядами пластин:
$v_{ \perp}^{n} = \mu_{n} (v_{n}B + E_{ \perp}) = \mu_{n}^{2} EB + E_{ \perp} \mu_{n}$, (2)
$v_{ \perp}^{p} = \mu_{p} (v_{p}B - E_{ \perp}) = \mu_{p}^{2} EB - E_{ \perp} \mu_{p}$, (3)
Здесь $E$ - составляющая напряжённости электрического поля вдоль тока $I$. Она определяет скорость движения носителей вдоль пластин:
$v_{n} = \mu_{n}E, v_{p} = \mu_{p}E$.
Эти скорости обеспечивают ток $I$:
$I = e(nv_{n} + pv_{p})ab = eE(n \mu_{n} + p \mu_{p})ab$, (4)
где $e$ - элементарный заряд, $b$ - ширина пластины. Подставляем (2) и (3) в (1):
$EB( \mu_{p}^{2}p - \mu_{n}^{2}n) = E_{ \perp} ( \mu_{n}n + \mu_{p}p)$.
Величина $E_{ \perp} = U/b$, а $E$ определяется равенством (4). Учитывая это, получим:
$U = \frac{BI}{a} \cdot \frac{ \mu_{p}^{2}p - \mu_{n}^{2}n}{e( \mu_{n}n + \mu_{p}p)}$.
Откуда
$R = \frac{ \mu_{p}^{2}p - \mu_{n}^{2}n}{e( \mu_{n}n + \mu_{p}p)}$.
Знак коэффициента Холла определяет тип проводимости полупроводника: для полупроводника с дырочной проводимостью $R > 0$, для электронного $R < 0$.
