Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8188
2018-07-01 
Параллельный пучок света падает из вакуума на поверхность, которая ограничивает область с показателем преломления $n$ (рис.). Найти форму этой поверхности — уравнение $x(r)$, при которой пучок будет сфокусирован в точке $F$ на расстоянии $f$ от вершины О. Пучок какого максимального радиуса сечения может быть сфокусирован?
Решение:
Все лучи, фокусирующиеся в точке, должны пройти один и тот же оптический путь. Таким образом
$x + n \sqrt{ r^{2} + (f-x)^{2}} = nf$ или $(nf - x)^{2} = n^{2}r^{2} + n^{2} (f-x)^{2}$
или, $n^{2} r^{2} = (nf - x)^{2} - [n (f - x) ]^{2} = (nf - x + nf - nx)(nf - x - nf + nx) = x(n-1)(2nf - (n+1)x) = 2n(n - 1)fx - (n + 1)(n - 1)x^{2}$
Таким образом, $(n + 1) (n - 1) x^{2} - 2n (n - 1) fx + n^{2} r^{2} = 0$
поэтому $x = \frac{n (n - 1)f \pm \sqrt{ n^{2} (n - 1)^{2}f^{2} - n^{2}r^{2} (n + 1) (n - 1)}}{(n + 1)( n - 1) } = \frac{nf}{n + 1} \left ( 1 \pm \sqrt{1 - \frac{n + 1}{n - 1} \frac{r^{2} }{f^{2} } } \right )$
Луч должен двигаться так, чтобы $x < f$, для положительного знака, $x > f$ при малых $r$, отрицательный знак. (Также $x \rightarrow 0$ при $r \rightarrow 0$)
($x > f$ означает, что луч преломляется назад в направлении падения (см. рис.))
Следовательно, $x = \frac{nf}{n + 1} \left ( 1 - \sqrt{ 1 - \frac{n + 1}{n - 1} \frac{r^{2} }{f^{2} } } \right )$
Для максимального значения $r$,
$\sqrt{ 1 - \frac{n + 1}{n - 1} \frac{r^{2} }{f^{2} }} = 0$ (A)
потому что выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, что дает максимальное значение $r$.
Отсюда из (A), $r_{max} = f \sqrt{(n - 1) / (n + 1)}$
Параллельный пучок света падает из вакуума на поверхность, которая ограничивает область с показателем преломления $n$ (рис.). Найти форму этой поверхности — уравнение $x(r)$, при которой пучок будет сфокусирован в точке $F$ на расстоянии $f$ от вершины О. Пучок какого максимального радиуса сечения может быть сфокусирован?
Решение:
Все лучи, фокусирующиеся в точке, должны пройти один и тот же оптический путь. Таким образом
$x + n \sqrt{ r^{2} + (f-x)^{2}} = nf$ или $(nf - x)^{2} = n^{2}r^{2} + n^{2} (f-x)^{2}$
или, $n^{2} r^{2} = (nf - x)^{2} - [n (f - x) ]^{2} = (nf - x + nf - nx)(nf - x - nf + nx) = x(n-1)(2nf - (n+1)x) = 2n(n - 1)fx - (n + 1)(n - 1)x^{2}$
Таким образом, $(n + 1) (n - 1) x^{2} - 2n (n - 1) fx + n^{2} r^{2} = 0$
поэтому $x = \frac{n (n - 1)f \pm \sqrt{ n^{2} (n - 1)^{2}f^{2} - n^{2}r^{2} (n + 1) (n - 1)}}{(n + 1)( n - 1) } = \frac{nf}{n + 1} \left ( 1 \pm \sqrt{1 - \frac{n + 1}{n - 1} \frac{r^{2} }{f^{2} } } \right )$
Луч должен двигаться так, чтобы $x < f$, для положительного знака, $x > f$ при малых $r$, отрицательный знак. (Также $x \rightarrow 0$ при $r \rightarrow 0$)
($x > f$ означает, что луч преломляется назад в направлении падения (см. рис.))
Следовательно, $x = \frac{nf}{n + 1} \left ( 1 - \sqrt{ 1 - \frac{n + 1}{n - 1} \frac{r^{2} }{f^{2} } } \right )$
Для максимального значения $r$,
$\sqrt{ 1 - \frac{n + 1}{n - 1} \frac{r^{2} }{f^{2} }} = 0$ (A)
потому что выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, что дает максимальное значение $r$.
Отсюда из (A), $r_{max} = f \sqrt{(n - 1) / (n + 1)}$
