ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-01   
Вывести с помощью принципа Ферма формулу преломления параксиальных лучей на сферической поверхности радиуса $R$, разделяющей среды с показателями преломления $n$ и $n^{ \prime}$.


Решение:



Для того чтобы $O_{1}$ был образом, оптические пути всех лучей, входящих в формулу, должны быть равны $OAO_{1}$ вплоть до членов первого порядка по $h$. Таким образом,

$n_{1}OA + n_{2}AO_{1} = const$

Но, $OP = |s|, O_{1}P = |s^{ \prime} |$ и т.д.

$OA = \sqrt{h^{2} + (|s| + \delta )^{2} } \approx |s| + \delta + \frac{h^{2} }{2|s|}$
$O_{1}A = \sqrt{h^{2} + (|s^{ \prime} | - \delta )^{2} } \approx |s^{ \prime} | - \delta + \frac{h^{2} }{2|s^{ \prime} |}$

(пренебрегая членом $h^{2} \delta$). Тогда

$n_{1} |s| + n_{2} |s^{ \prime} | + n_{1} \delta - n_{2} \delta + \frac{h^{2} }{2} \left( \frac{n_{1} }{|s|} + \frac{n_{2} }{|s^{ \prime} |} \right ) = const$

Отсюда $(r - \delta)^{2} + h^{2} = r^{2}$

или $h^{2} = 2 \dot{r} \delta$ или $\delta = \frac{h^{2} }{2 r}$

Здесь $r = CP$.

Следовательно, $n_{1} | s | + n_{2} | s^{ \prime} | + \frac{h^{2} }{2} \left ( \frac{n_{1} - n_{2} }{r} + \frac{n_{1} }{|s|} + \frac{n_{2} }{|s^{ \prime} |} \right ) = const$

Поскольку это должно выполняться для всех $h$,

$\frac{n_{2} }{|s^{ \prime} |} + \frac{n_{1} }{|s|} = \frac{n_{2} - n_{1} }{r}$

Из нашего условного соглашения $s^{ \prime} > 0, s < 0$, поэтому получаем

$\frac{n_{2}}{s^{ \prime} } - \frac{n_{1} }{s} = \frac{n_{2} - n_{1} }{r}$.