Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8183
2018-07-01 
Вывести с помощью принципа Ферма законы отражения и преломления света на плоской границе раздела двух сред,
Решение:
Принцип Ферма: «Свет выбирает кратчайший путь между двумя точками. То есть луч света двигается из начальной точки в конечную точку по пути, минимизирующему время движения»
Вывод из закона преломления по принципу Ферма:
Пусть плоскость S является границей между средой 1 и средой 2 с показателями преломления $n_{1} = c / v_{1}$ и $n_{2} = c / v_{2}$. Рис. (A). Предположим, что, $n_{1} < n_{2}$. Даны две точки: одна над плоскостью S (точка A), другая - в плоскости S (точка B). Различные расстояния:
$AA_{1} = h_{1}, BB_{1} = h_{2}, A_{1}B_{1} = l$. Мы должны найти путь от А до В, который может быть покрыт светом быстрее, чем он может покрыть любым другим гипотетическим путем. Очевидно, что этот путь должен состоять из двух прямых линий, а именно: АО в среде 1 и OB в среде 2; точка О в плоскости S может быть найдена.
Прежде всего, из принципа Ферма следует, что точка О должна лежать на пересечении S и плоскости P, перпендикулярной S, и проходить через A и B.
Действительно, предположим, что эта точка не лежит в плоскости P, если это точка $O_{1}$ на рис. (b). Опустим перпендикуляр $OO_{2}$ из $O_{1}$ на P. Так как $AO_{2} < AO_{1}$ и $BO_{2} < BO_{1}$ ясно, что время, необходимое для прохождения $AO_{2}B$, меньше, чем необходимое для покрытия пути $AO_{1}B$. Таким образом, используя принцип Ферма, мы видим, что первый закон преломления соблюдается: падающий и преломленный лучи лежат в той же плоскости, что и перпендикулярно границе раздела в точке где луч преломляется. Эта плоскость представляет собой плоскость P на рис. (b); он называется плоскостью падения.
Теперь рассмотрим световые лучи в плоскости падения Рис. (c). Обозначим $A_{1}O$ как x и $OB_{1} = l - x$. Время, затрачиваемое лучом на переход от А к О, а затем от О до В
$T = \frac{AO}{ v_{1} } + \frac{OB}{ v_{2} } = \frac{ \sqrt{h_{1}^{2} + x^{2} } }{ v_{1} } + \frac{ \sqrt{h^{2} + (l - x)^{2} } }{ v_{2} }$ (1)
Время зависит от значения x. Согласно принципу Ферма, значение x должно минимизировать время $T$. При этом значении x производная $dT / dx$ равна нулю:
$\frac{dT}{dx} = \frac{x}{ v_{1} \sqrt{h_{1}^{2} + x^{2} } } - \frac{l - x}{ v_{2} \sqrt{h_{2}^{2} + ( l - x)^{2} } } = 0$. (2)
Тогда, $\frac{x}{ \sqrt{h_{1}^{2} + x^{2} } } = \sin \alpha$ и $\frac{l - x}{ \sqrt{h_{2}^{2} + ( l - x)^{2} } } = \sin \beta$,
Вследствие этого,
$\frac{ \sin \alpha }{ v_{1} } - \frac{ \sin \beta}{ v_{2} } = 0$, или $\frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta} = \frac{v_{1} }{v_{2} }$
Так, $\frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta} = \frac{c/n_{1} }{c / n_{2} } = \frac{n_{2} }{n_{1} }$
Примечание: сам Ферма не мог использовать уравнение (2) поскольку математический анализ был разработан позднее Ньютоном и Лейбницем. Чтобы вывести закон преломления света, Ферма использовал свой собственный максимальный и минимальный метод исчисления, который фактически соответствовал разработанному впоследствии методу нахождения минимума (максимума) функции, дифференцируя его и приравнивая производную к нулю.
Вывести с помощью принципа Ферма законы отражения и преломления света на плоской границе раздела двух сред,
Решение:
Принцип Ферма: «Свет выбирает кратчайший путь между двумя точками. То есть луч света двигается из начальной точки в конечную точку по пути, минимизирующему время движения»
Вывод из закона преломления по принципу Ферма:
Пусть плоскость S является границей между средой 1 и средой 2 с показателями преломления $n_{1} = c / v_{1}$ и $n_{2} = c / v_{2}$. Рис. (A). Предположим, что, $n_{1} < n_{2}$. Даны две точки: одна над плоскостью S (точка A), другая - в плоскости S (точка B). Различные расстояния:
$AA_{1} = h_{1}, BB_{1} = h_{2}, A_{1}B_{1} = l$. Мы должны найти путь от А до В, который может быть покрыт светом быстрее, чем он может покрыть любым другим гипотетическим путем. Очевидно, что этот путь должен состоять из двух прямых линий, а именно: АО в среде 1 и OB в среде 2; точка О в плоскости S может быть найдена.
Прежде всего, из принципа Ферма следует, что точка О должна лежать на пересечении S и плоскости P, перпендикулярной S, и проходить через A и B.
Действительно, предположим, что эта точка не лежит в плоскости P, если это точка $O_{1}$ на рис. (b). Опустим перпендикуляр $OO_{2}$ из $O_{1}$ на P. Так как $AO_{2} < AO_{1}$ и $BO_{2} < BO_{1}$ ясно, что время, необходимое для прохождения $AO_{2}B$, меньше, чем необходимое для покрытия пути $AO_{1}B$. Таким образом, используя принцип Ферма, мы видим, что первый закон преломления соблюдается: падающий и преломленный лучи лежат в той же плоскости, что и перпендикулярно границе раздела в точке где луч преломляется. Эта плоскость представляет собой плоскость P на рис. (b); он называется плоскостью падения.
Теперь рассмотрим световые лучи в плоскости падения Рис. (c). Обозначим $A_{1}O$ как x и $OB_{1} = l - x$. Время, затрачиваемое лучом на переход от А к О, а затем от О до В
$T = \frac{AO}{ v_{1} } + \frac{OB}{ v_{2} } = \frac{ \sqrt{h_{1}^{2} + x^{2} } }{ v_{1} } + \frac{ \sqrt{h^{2} + (l - x)^{2} } }{ v_{2} }$ (1)
Время зависит от значения x. Согласно принципу Ферма, значение x должно минимизировать время $T$. При этом значении x производная $dT / dx$ равна нулю:
$\frac{dT}{dx} = \frac{x}{ v_{1} \sqrt{h_{1}^{2} + x^{2} } } - \frac{l - x}{ v_{2} \sqrt{h_{2}^{2} + ( l - x)^{2} } } = 0$. (2)
Тогда, $\frac{x}{ \sqrt{h_{1}^{2} + x^{2} } } = \sin \alpha$ и $\frac{l - x}{ \sqrt{h_{2}^{2} + ( l - x)^{2} } } = \sin \beta$,
Вследствие этого,
$\frac{ \sin \alpha }{ v_{1} } - \frac{ \sin \beta}{ v_{2} } = 0$, или $\frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta} = \frac{v_{1} }{v_{2} }$
Так, $\frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta} = \frac{c/n_{1} }{c / n_{2} } = \frac{n_{2} }{n_{1} }$
Примечание: сам Ферма не мог использовать уравнение (2) поскольку математический анализ был разработан позднее Ньютоном и Лейбницем. Чтобы вывести закон преломления света, Ферма использовал свой собственный максимальный и минимальный метод исчисления, который фактически соответствовал разработанному впоследствии методу нахождения минимума (максимума) функции, дифференцируя его и приравнивая производную к нулю.
