Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 818
2016-09-04 
Цепь на рисунке состоит из двух конденсаторов с ёмкостями $C_{1}$ и $C_{2}$, двух катушек с индуктивностями $L_{1}$ и $L_{2}$, двух идеальных диодов $D_{1}$ и $D_{2}$ и ключа $K$. Первоначально конденсатор $C_{2}$ зарядили до напряжения и $U_{0}$. В нулевой момент времени ключ $K$ замыкают.
1. Найдите продолжительность $\tau$ переходного процесса (то есть момент времени $\tau$, начиная с которого процесс станет периодическим).
2. Определите период $T$ колебаний в установившемся режиме.
3. Найдите напряжения $U_{1}$ и $U_{2}$ на конденсаторе $C_{2}$ в те моменты времени после замыкания ключа, когда ток, текущий через него, обращается в нуль.
4. Определите амплитуду $A$ колебаний напряжения на конденсаторе $C_{2}$ в установившемся режиме.
5. Подытожьте ответы на предыдущие вопросы, качественно изобразив график зависимости напряжения $U$ на конденсаторе $C_{2}$ от времени $t$ в промежутке от 0 до $( \tau + T)$. Отметьте на графике координаты характерных точек (максимумов, минимумов и точек пересечения с осями).
Решение:
рис.1
рис.2
Какие процессы происходят в данной цепи? Когда ток в диоде течёт в пропускном направлении, этот диод играет роль обычного проводника, входящего в колебательный контур. В контуре происходят гармонические колебания. Правда, параметры контура, в котором происходят колебания, зависят от того, через какой диод протекает ток. Поэтому целесообразно проанализировать колебания на различных временных интервалах после замыкания ключа.
На первом этапе конденсатор $C_{1}$ «отключён» диодом $D_{1}$, a конденсатор $C_{2}$ без препятствия со стороны $D_{2}$ разряжается через параллельно соединённые катушки $L_{1}$ и $L_{2}$. Их можно заменить одной эквивалентной катушкой с индуктивностью
$L = \frac{L_{1}L_{2}}{L_{1} + L_{2}}$.
Последняя формула следует из уравнений
$L \frac{dI}{dt} = L_{1} \frac{dI_{1}}{dt} = L_{2} \frac{dI_{2}}{dt}, I = I_{1} + I_{2}$.
где $I_{1}$ и $I_{2}$ - токи через параллельно соединённые катушки $L_{1}$ и $L_{2}$.
Колебания в данном контуре происходят с периодом
$T_{1} = 2 \pi \sqrt{ \frac{L_{1}L_{2}}{L_{1} + L_{2}} C_{2}}$
в течение времени $\tau_{1} = T_{1}/4$, пока конденсатор $C_{2}$ полностью не разрядится. После этого конденсатор $C_{2}$ начинает перезаряжаться за счёт постепенного уменьшения тока в катушках. Потечёт этот ток и через диод $D_{1}$, заряжая конденсатор $C_{1}$. Всё происходит так, как в колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью $L$ и пары параллельно соединённых конденсаторов $C_{1}$ и $C_{2}$, которая эквивалентна конденсатору с ёмкостью $C = C_{1} + C_{2}$. Период колебаний в таком
контуре равен
$T_{2} = 2 \pi \sqrt{ \frac{L_{1}L_{2}}{L_{1} + L_{2}} (C_{1} + C_{2})}$.
Эти колебания продолжаются промежуток времени $\tau_{2} = T_{2}/4$, после чего заряженный до максимального по модулю напряжения $U_{1}$ конденсатор $C_{1}$ «отключается» диодом $D_{1}$, поскольку далее напряжение на конденсаторе $C_{2}$ не может превысить достигнутого максимального значения $U_{1}$. Величину $U_{1}$ можно найти из закона изменения энергии:
$\frac{C_{0}U_{0}^{2}}{2} = \frac{(C_{1}+C_{2})U_{1}^{2}}{2} (С1 + С2)$. ( 1)
Левая часть (1) - энергия поля конденсаторов в начальный момент времени, правая - в момент времени $\tau_{1} + \tau_{2}$ , когда ток в катушках обращается в нуль. Из уравнения (1) находим один из ответов задачи:
$U_{1} = U_{0} \sqrt{ \frac{C_{2}}{C_{1} + C_{2}}}$.
После момента времени $\tau_{1} + \tau_{2}$ конденсатор $C_{2}$ будет разряжаться только через $L_{1}$, поскольку катушка $L_{2}$ оказывается «отключённой» диодом $D_{2}$. Время этого процесса $\tau_{3} = T_{3}/4$, где $T_{3} = 2 \pi \sqrt{L_{1}C_{1}}$ - период колебаний контура, образованного конденсатором $C_{2}$ и катушкой $L_{1}$.
В момент времени $\tau = \tau_{1} + \tau_{2} + \tau_{3}$, когда конденсатор $C_{2}$ полностью разрядится, ток разряда достигнет значения
$I_{1} = U_{1} \sqrt{ \frac{C_{2}}{L_{1}}}$. (2)
что следует из закона сохранения энергии. После этого момента энергия магнитного поля катушки $L_{1}$ расходуется на перезарядку конденсатора $C_{2}$ и на создание тока в катушке $L_{2}$. Диод $D_{2}$ не препятствует этому току, поскольку направление ЭДС самоиндукции в катушке $L_{1}$ согласно правилу Ленца совпадает с пропускным направлением данного диода. Ток в катушке $L_{1}$ достигает значения $I$, когда конденсатор заряжается до максимального напряжения $U_{2}$. Тот же ток течёт и по другой катушке, обеспечивая в этот момент времени равенство нулю изменения заряда конденсатора. Величину тока $I$ найдём из равенства ЭДС индукции на первой и второй катушках:
$\frac{d \Phi_{1}}{dt} = \frac{d \Phi_{2}}{dt}$.
Следовательно, равны изменения магнитных потоков:
$\Delta \Phi_{1} = \Delta \Phi_{2}, \Delta Phi_{1} = L_{1}I — L_{1}I_{1}, \Delta \Phi_{2} = -L_{2}I$.
Отсюда находим ток через катушки в момент, когда на конденсаторе $C_{2}$ максимальное напряжение $U_{2}$:
$I = \frac{L_{1}}{L_{1} + L_{2}} I_{1}$. (3)
Закон сохранения энергии позволяет связать $U_{2}$ с $U_{1}$:
$\frac{C_{2}U_{1}^{2}}{2} = \frac{C_{2}U_{2}^{2}}{2} + \frac{(L_{1} + L_{2})I^{2}}{2}$. (4)
Подставляя сюда (2) и (3) получим:
$U_{2} = U_{1} \sqrt{ \frac{L_{1}}{L_{1}+L_{2}}} = U_{0} \sqrt{ \frac{C_{2}}{C_{1} + C_{2}}} \sqrt{ \frac{L_{2}}{L_{1} + L_{2}}} $. (5)
Далее гармонические колебания контура, образованного конденсатором $C_{2}$ и парой параллельно соединённых катушек, будут продолжаться неограниченно долго (в отсутствие потерь), так как диод $D_{2}$ всё время остаётся открытым. Действительно, рассмотрим момент времени, когда ток в диоде
приближается к нулевому значению. Может ли он «закрыться»? Данная ситуация ничем не отличается от ситуации в момент времени $\tau$, при которой диод «отпирался». Так что ответ на поставленный вопрос отрицательный.
Итак, с момента времени $\tau = \tau_{1} + \tau_{2} + \tau_{3}$ установятся гармонические колебания с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{L_{1}L_{2}}{L_{1} + L_{2}}C_{2} }$,
и амплитудой $U_{2}$ (5).
На рисунке 2 изображён итоговый график изменения напряжения на конденсаторе $C_{2}$ в течение времени $t$.
Цепь на рисунке состоит из двух конденсаторов с ёмкостями $C_{1}$ и $C_{2}$, двух катушек с индуктивностями $L_{1}$ и $L_{2}$, двух идеальных диодов $D_{1}$ и $D_{2}$ и ключа $K$. Первоначально конденсатор $C_{2}$ зарядили до напряжения и $U_{0}$. В нулевой момент времени ключ $K$ замыкают.
1. Найдите продолжительность $\tau$ переходного процесса (то есть момент времени $\tau$, начиная с которого процесс станет периодическим).
2. Определите период $T$ колебаний в установившемся режиме.
3. Найдите напряжения $U_{1}$ и $U_{2}$ на конденсаторе $C_{2}$ в те моменты времени после замыкания ключа, когда ток, текущий через него, обращается в нуль.
4. Определите амплитуду $A$ колебаний напряжения на конденсаторе $C_{2}$ в установившемся режиме.
5. Подытожьте ответы на предыдущие вопросы, качественно изобразив график зависимости напряжения $U$ на конденсаторе $C_{2}$ от времени $t$ в промежутке от 0 до $( \tau + T)$. Отметьте на графике координаты характерных точек (максимумов, минимумов и точек пересечения с осями).
Решение:
рис.1
рис.2
Какие процессы происходят в данной цепи? Когда ток в диоде течёт в пропускном направлении, этот диод играет роль обычного проводника, входящего в колебательный контур. В контуре происходят гармонические колебания. Правда, параметры контура, в котором происходят колебания, зависят от того, через какой диод протекает ток. Поэтому целесообразно проанализировать колебания на различных временных интервалах после замыкания ключа.
На первом этапе конденсатор $C_{1}$ «отключён» диодом $D_{1}$, a конденсатор $C_{2}$ без препятствия со стороны $D_{2}$ разряжается через параллельно соединённые катушки $L_{1}$ и $L_{2}$. Их можно заменить одной эквивалентной катушкой с индуктивностью
$L = \frac{L_{1}L_{2}}{L_{1} + L_{2}}$.
Последняя формула следует из уравнений
$L \frac{dI}{dt} = L_{1} \frac{dI_{1}}{dt} = L_{2} \frac{dI_{2}}{dt}, I = I_{1} + I_{2}$.
где $I_{1}$ и $I_{2}$ - токи через параллельно соединённые катушки $L_{1}$ и $L_{2}$.
Колебания в данном контуре происходят с периодом
$T_{1} = 2 \pi \sqrt{ \frac{L_{1}L_{2}}{L_{1} + L_{2}} C_{2}}$
в течение времени $\tau_{1} = T_{1}/4$, пока конденсатор $C_{2}$ полностью не разрядится. После этого конденсатор $C_{2}$ начинает перезаряжаться за счёт постепенного уменьшения тока в катушках. Потечёт этот ток и через диод $D_{1}$, заряжая конденсатор $C_{1}$. Всё происходит так, как в колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью $L$ и пары параллельно соединённых конденсаторов $C_{1}$ и $C_{2}$, которая эквивалентна конденсатору с ёмкостью $C = C_{1} + C_{2}$. Период колебаний в таком
контуре равен
$T_{2} = 2 \pi \sqrt{ \frac{L_{1}L_{2}}{L_{1} + L_{2}} (C_{1} + C_{2})}$.
Эти колебания продолжаются промежуток времени $\tau_{2} = T_{2}/4$, после чего заряженный до максимального по модулю напряжения $U_{1}$ конденсатор $C_{1}$ «отключается» диодом $D_{1}$, поскольку далее напряжение на конденсаторе $C_{2}$ не может превысить достигнутого максимального значения $U_{1}$. Величину $U_{1}$ можно найти из закона изменения энергии:
$\frac{C_{0}U_{0}^{2}}{2} = \frac{(C_{1}+C_{2})U_{1}^{2}}{2} (С1 + С2)$. ( 1)
Левая часть (1) - энергия поля конденсаторов в начальный момент времени, правая - в момент времени $\tau_{1} + \tau_{2}$ , когда ток в катушках обращается в нуль. Из уравнения (1) находим один из ответов задачи:
$U_{1} = U_{0} \sqrt{ \frac{C_{2}}{C_{1} + C_{2}}}$.
После момента времени $\tau_{1} + \tau_{2}$ конденсатор $C_{2}$ будет разряжаться только через $L_{1}$, поскольку катушка $L_{2}$ оказывается «отключённой» диодом $D_{2}$. Время этого процесса $\tau_{3} = T_{3}/4$, где $T_{3} = 2 \pi \sqrt{L_{1}C_{1}}$ - период колебаний контура, образованного конденсатором $C_{2}$ и катушкой $L_{1}$.
В момент времени $\tau = \tau_{1} + \tau_{2} + \tau_{3}$, когда конденсатор $C_{2}$ полностью разрядится, ток разряда достигнет значения
$I_{1} = U_{1} \sqrt{ \frac{C_{2}}{L_{1}}}$. (2)
что следует из закона сохранения энергии. После этого момента энергия магнитного поля катушки $L_{1}$ расходуется на перезарядку конденсатора $C_{2}$ и на создание тока в катушке $L_{2}$. Диод $D_{2}$ не препятствует этому току, поскольку направление ЭДС самоиндукции в катушке $L_{1}$ согласно правилу Ленца совпадает с пропускным направлением данного диода. Ток в катушке $L_{1}$ достигает значения $I$, когда конденсатор заряжается до максимального напряжения $U_{2}$. Тот же ток течёт и по другой катушке, обеспечивая в этот момент времени равенство нулю изменения заряда конденсатора. Величину тока $I$ найдём из равенства ЭДС индукции на первой и второй катушках:
$\frac{d \Phi_{1}}{dt} = \frac{d \Phi_{2}}{dt}$.
Следовательно, равны изменения магнитных потоков:
$\Delta \Phi_{1} = \Delta \Phi_{2}, \Delta Phi_{1} = L_{1}I — L_{1}I_{1}, \Delta \Phi_{2} = -L_{2}I$.
Отсюда находим ток через катушки в момент, когда на конденсаторе $C_{2}$ максимальное напряжение $U_{2}$:
$I = \frac{L_{1}}{L_{1} + L_{2}} I_{1}$. (3)
Закон сохранения энергии позволяет связать $U_{2}$ с $U_{1}$:
$\frac{C_{2}U_{1}^{2}}{2} = \frac{C_{2}U_{2}^{2}}{2} + \frac{(L_{1} + L_{2})I^{2}}{2}$. (4)
Подставляя сюда (2) и (3) получим:
$U_{2} = U_{1} \sqrt{ \frac{L_{1}}{L_{1}+L_{2}}} = U_{0} \sqrt{ \frac{C_{2}}{C_{1} + C_{2}}} \sqrt{ \frac{L_{2}}{L_{1} + L_{2}}} $. (5)
Далее гармонические колебания контура, образованного конденсатором $C_{2}$ и парой параллельно соединённых катушек, будут продолжаться неограниченно долго (в отсутствие потерь), так как диод $D_{2}$ всё время остаётся открытым. Действительно, рассмотрим момент времени, когда ток в диоде
приближается к нулевому значению. Может ли он «закрыться»? Данная ситуация ничем не отличается от ситуации в момент времени $\tau$, при которой диод «отпирался». Так что ответ на поставленный вопрос отрицательный.
Итак, с момента времени $\tau = \tau_{1} + \tau_{2} + \tau_{3}$ установятся гармонические колебания с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{L_{1}L_{2}}{L_{1} + L_{2}}C_{2} }$,
и амплитудой $U_{2}$ (5).
На рисунке 2 изображён итоговый график изменения напряжения на конденсаторе $C_{2}$ в течение времени $t$.
