ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-01   
Луч света проходит через призму с преломляющим углом $\theta$ и показателем преломления $n$. Пусть $\alpha$ — угол отклонения луча. Показать, что при симметричном ходе луча через призму:
а) угол $\alpha$ минимален;
б) связь между углами $\alpha$ и $\theta$ определяется формулой ($\sin \frac{ \alpha + \theta}{2} = n \sin \frac{ \theta}{2} $).


Решение:


(а) В общем случае, монохроматический луч проходит через призму, как показано на рисунке в задаче 8177

$\alpha = ( \alpha_{1} + \alpha_{2}) - \theta$ (1)

Из закона Снеллиуса,

$\sin \alpha_{1} = n \sin \beta_{1}$ или $\alpha_{1} = \sin^{-1} ( n \sin \beta_{1} )$ (2)
Аналогично $\alpha_{2} = \sin^{ -1} (n \sin \beta_{2}) = \sin^{-1} [n \sin ( \theta - \beta_{1} )]$ (As $\theta = \beta_{1} + \beta_{2}$)

Используя (2) в (1)

$\alpha = [ \sin^{-1} ( n \sin \beta_{1} ) + \sin^{-1} (n \sin ( \theta - \beta_{1} ) ] - \theta$

Чтобы $\alpha$ было минимальным, $\frac{d \alpha}{d \beta_{1} } = 0$

или, $\frac{n \cos \beta_{1} }{ \sqrt{1 - n^{2} \sin^{2} \beta_{1} } } - \frac{n \cos ( \theta - \beta_{1} )}{ \sqrt{1 - n^{2} \sin^{2}( \theta - \beta_{1} ) } } = 0$

или, $\frac{ \cos^{2} \beta_{1} }{ 1 - n^{2} \sin^{2} \beta_{1} } = \frac{ \cos^{2} ( \theta - \beta_{1} )}{ 1 - n^{2} \sin^{2}( \theta - \beta_{1} ) }$

или, $\cos^{2} \beta_{1} (1 - n^{2} \sin^{2} ( \theta - \beta_{1} ) ) = \cos^{2} ( \theta - \beta_{1} ) (1 - n^{2} \sin^{2} \beta_{1} )$

или, $(1 - \sin^{2} \beta_{1} )(1 - n^{2} \sin^{2} ( \theta - \beta_{1} ) ) = (1 - \sin^{2}( \theta - \beta_{1} ) )(1 - n^{2} \sin^{2} \beta_{1} )$

или, $1 - n^{2} \sin^{2} ( \theta - \beta_{1} ) - \sin^{2} \beta_{1} + \sin^{2} \beta_{1} n^{2} \sin^{2} ( \theta - \beta_{1} ) = 1 - n^{2} \sin^{2} \beta_{1} - \sin^{2} ( \theta - \beta_{1} ) + \sin^{2} \beta_{1} n^{2} \sin^{2} ( \theta - \beta_{1} )$

или, $\sin^{2} ( \theta - \beta_{1} ) - n^{2} \sin^{2} ( \theta - \beta_{1} ) = \sin^{2} \beta_{1} (1 - n^{2} )$

или, $\sin^{2} ( \theta - \beta_{1} )(1 - n^{2} ) = \sin^{2} \beta_{1}(1 - n^{2} )$

или, $\theta - \beta_{1} = \beta_{1}$ или $\beta_{1} = \theta/2$

Но $\beta_{1} + \beta_{2} = \theta$, som $\beta_{2} = \theta /2 = \beta_{1}$

В случае симметричного прохождения луча

$\alpha_{1} = \alpha_{2} = \alpha^{ \prime}$
и $ \beta_{1} = \beta_{2} = \beta = \theta /2$

Таким образом, полное отклонение


$\alpha = ( \alpha_{1} + \alpha_{2} ) - \theta$
$\alpha = 2 \alpha^{ \prime} - \theta$ или $\alpha^{ \prime} = \frac{ \alpha + \theta}{2}$ (1)

из закона Снеллиуса $\sin \alpha = n \sin \beta$

$\sin \frac{ \alpha + \theta}{2} = n \sin \frac{ \theta}{2}$