ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-01   
Над столом находится светильник — плоский горизонтальный диск радиуса $R = 25 см$. Расстояние от него до поверхности стола $h = 75 см$. Освещенность стола под центром светильника $E_{0} = 70 лк$. Найти светимость этого источника, считая его ламбертовским.


Решение:



Рассмотрим угловой элемент площади

$2 \pi xdx = 2 \pi h^{2} tg \theta \sec^{2} \theta$

Свет, излучаемый этим кольцом, равен

$d \Phi = L d \Omega (2 \pi h^{2} tg \theta \sec^{2} \theta d \theta ) \cos \theta$

Тогда $d \Omega = \frac{dA \cos \theta}{h^{2} \sec^{2} \theta }$

где $dA$ - элемент площади стола чуть ниже уровня освещенности. Тогда освещенность элемента $dA$ будет равна

$E_{0} = \int_{ \theta = 0}^{ \theta = \alpha } 2 \pi L \sin \theta \cos \theta d \theta$

где $\sin \alpha = \frac{R}{ \sqrt{h^{2} + R^{2} } }$. Наконец, используя светимость $M = \pi L$

$E_{0} = M \sin^{2} \alpha = M \frac{R^{2} }{R^{2} + h^{2} }$

или $M = E_{0} \left ( 1 + \frac{h^{2} }{R^{2} } \right ) = 700 лм / м^{3}$ ($1 лх = 1 \frac{1 м}{м^{2} } $ - размерность).